Concours Centrale Supélec - Filière PC

Laurent Llabres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2009 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Les calculatrices sont autorisées. Le problème porte sur l'étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme . Les parties I et II traitent d'un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes des deux premières, ont pour objet l'étude de propriétés de la somme d'une série factorielle convergente sur l'intervalle . Partie I - Préliminaires I.A - Pour tout entier naturel non nul, on pose : , I.A.1) Montrer que la série est convergente. I.A.2) On pose : Calculer . I.A.3) Pour , et pour quelconque dans , exprimer en fonction de et . I.A.4) En déduire la valeur de en fonction de , pour . I.B - Soient un entier et un entier naturel . Donner une majoration du reste en le comparant à une intégrale. an n! x x 1+( ) x 2+( )… x n+( )-------------------------------------------------------------- n 0≥ ∑ ]0 +∞, [ p n? IN?? u n p,( ) 1 n n 1+( )… n p+( )------------------------------

• cp p?


• erreur inférieure


• base de l'espace vectoriel des polynômes


• concours centrale -supélec

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHÉMATIQUES I

Les calculatrices sont autorisées. Le problème porte sur l’étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme n! a - . ∑ n x(x+1)(x+2)…(x+n) n≥0 Les parties I et II traitent d’un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes des deux premières, ont pour objet l’étude de propriétés de la somme d’une série factorielle convergente sur l’intervalle ]0,+∞[ .

Partie I - Préliminaires I.A -Pour tout entier p naturel non nul, on pose : 1 ∗ ∀n∈IN , u(n,p)= - n(n+1)…(n+p) I.A.1) Montrerque la série u(n,p) est convergente. ∑ n≥1 I.A.2) Onpose : +∞ σ(p)=u(n,p) ∑ n=1 Calculer σ(1) . ∗ I.A.3) Pour p≥2 , et pour n quelconque dans IN , exprimer u(n,p–1)–u(n+1,p–1) en fonction de p et u(n,p) . I.A.4) Endéduire la valeur de σ(p) en fonction de p , pour p≥2 . I.B -Soient q un entier ≥2 et N un entier naturel ≥1 . Donner une majoration du reste +∞ 1 ∑ q R(N,q)=- n n=N+1 en le comparant à une intégrale.

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Filière PC

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Partie II - Un exemple d’accélération de la convergence II.A - II.A.1) Montrerpar récurrence l’existence de trois suites (a) , (b)  et (c) p pp d’entiers naturels déÞnies pour p≥2 que, pour tout réel telles x  strictement positif et pour tout entier p on ait : p a bx+c 1 pk p = + --- ∑ 3 3 x(x+1)…(x+k) x x(x+1)(x+2)…(x+p) k=2 II.A.2) Exprimer a , b et c à l’aide de p , b et c . p+1p+1p+1p p II.A.3) Montrerque : ∀p≥2 , b≥c≥0 . p p II.A.4) Calculer a , b , c pour p=2,3 et 4 . p pp II.B -On désire calculer une valeur décimale approchée de +∞ 1 ζ(3)=- ∑ 3 n n=1 –5 avec une erreur inférieure ou égale à ε=5⋅10 . II.B.1) Enutilisant I.B, déterminer un entier naturel N sufÞsant pour que +∞ 1 - soit inférieur à ε . ∑ 3 n n=N+1 II.B.2) Donnerun majorant simple de : +∞ b n+c 4 4 ∑ 3 - n(n+1)…(n+4) n=N+1 et montrer, à l’aide de tout ce qui précède, comment calculer ζ(3) pour la même valeur de ε une valeur de avec N  moinsgrande que celle trouvée à la question II.B.1. II.B.3) Donnerune valeur décimale approchée à ε près (par défaut) de ζ(3) en utilisant ce qui précède.

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MATHÉMATIQUES IFilière PC Partie III - Séries factorielles III.A - III.A.1) Pourtout entier naturel n et pour tout réel x strictement positif, on pose : u(x) n!1 n u(x)= - , v(x)= - , w(x)= - . n nn x x(x+1)…(x+n)v(x) n (n+1) Montrer que la série de terme général w(x) n ⎛ ⎞ ln - , déÞnie pour n≥1 , est convergente. ⎝ ⎠ w(x) n–1 III.A.2) Endéduire qu’il existe l(x) (dépendant de x et strictement positif) tel que : u(x) n lim - =l(x) . n→+∞ v(x) n III.B -Soit (a) une suite de complexes et x un réel strictement positif. n n≥0 Montrer que la série a u(x) est absolument convergente (en abrégé AC) si ∑ n n n≥0 et seulement si la série a v(x) est AC. ∑ n n n≥0 A n n ≥0 III.C -On désigne désormais parl’ensemble des suites (a) indexées par IN telles que la série a u(x) soit AC pour tout réel x strictement positif. ∑ n n n≥0 n A Soit a=(a) un élément de, montrer que : n≥0 III.C.1) lafonction f déÞnie par : a +∞ xaf(x)=a u(x) a ∑ n n n=0 est continue sur l’intervalle ]0,+∞[ . III.C.2) lafonction f tend vers 0 en +∞ . a III.D - A n III.D.1) Donnerun exemple d’un élément a deavec a non nul pour tout entier n . III.D.2) Donnerun exemple d’une suite (a) qui ne soit pas un élément de n n≥0 A .

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MATHÉMATIQUES IFilière PC A III.E -Soit a un élément de. 1 III.E.1) Montrerque, pour tout entier n la fonction xau(x) est de classe C n sur l’intervalle ]0,+∞[ et que : 1n ⎛ ⎛⎞⎞ , n (x≤ n - +n 1+ - ∀x>0u′)u(x)l ⎝ ⎝⎠⎠ x x 1 III.E.2) Endéduire que la fonction f est de classe C sur l’intervalle ]0,+∞[ . a N.B. On dira alors que la fonction f est développable en série factorielle (sous- a entendu ici sur ]0,+∞[ et en abrégé DSFA) et on admettra qu’un tel développe- ment est unique. Partie IV - Représentation intégrale IV.A - IV.A.1) Soit n un entier naturel. On pose : n ∀k=0…n , P=(X+i) . k ∏ i=0,i≠k Montrer que les polynômes P forment une base de l’espace vectoriel IR[X] des k n polynômes à coefÞcients réels et de degré inférieur ou égal à n . IV.A.2) Endéduire qu’il existe des rationnels indépendants de x  notés α,α, …α tels que : 0 1n n α n! k ∀x>0 , - =- . ∑ x(x+1)(x+2)…(x+n) x+k k=0 Exprimer α en fonction de k et n . k IV.B -Montrer, pour x>0 et k entier naturel, l’existence de l’intégrale : 1 x–1+k (1–y)d y 0 et calculer sa valeur en fonction de k et x . IV.C -Montrer que : 1 x–1n n! ∀x>∀n∈IN(–y)yy d= 0 , , 1 - . 0 (1)…(x+n) x x+ A En déduire que, pour tout élément a de, on a : +∞ 1 x–1n ∀x>0 , f(x)=a(1–y)y dy . ∑ ∫ a n 0 n=0

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MATHÉMATIQUES IFilière PC A IV.D -Soit a un élément de. n IV.D.1) Montrerque la série entière a y a un rayon de convergence supé- ∑ n n≥0 rieur ou égal à 1 . On note φ la fonction déÞnie sur [0,1[ par : a +∞ n φ(y)=a y . ∑ a n n=0 1 x–1 IV.D.2) Montrerque la fonction xa(1–y)φ(y)d y est déÞnie sur ]0,+∞[ , ∫ a 0 DSFA sur ce même intervalle et égale à f . a

Partie V - Dérivabilité d’une série factorielle V.A -On reprend les notations des parties III et IV. V.A.1) Montrerque la fonction xaf(x) est dérivable sur l’intervalle ]0,+∞[ a et que : 1 x–1 ∀x>0 , f′(x)=(1–y)φ(y)ln(1–y)d y . ∫ a a 0 V.A.2) Montrerque la fonction ψ : yaφ(y)ln(1–y) est développable en série a a entière sur l’intervalle ]—,11[ . V.A.3) Onpose : (n) ψ(0) a ∀n∈INb= , - . n n! VériÞer que b=0 et que : 0 n–1 a p * ∀n∈IN , b= –- . ∑ n n–p p=0 V.B -Soient x>0 et N≥1 . Montrer : N N–1N–p b ⎛ ⎞ n 1 -≤a ⎜ - ⎟ . ∑ x ∑ p ∑ x ⎝ ⎠ (n+1)k(k+p+1) n=1p=0k=1 V.C -Montrer que, pour tout entier p tel que 0≤p≤N–1 , on a : N–p +∞ 1 1dt -≤ - +- . ∑ x x ∫ x 1 k(k+p+1) ( p+1) t(t+p+1) k=1

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MATHÉMATIQUES IFilière PC V.D -Montrer que : N–p 1 ln (p+1) 1 1 ⎛ ⎞ -≤+1+ - . ∑ x x ⎝ ⎠ x -- x k(k+p+1) ( p+1 ) (p+1) k=1 b n V.E -En déduire que la série de terme général - est AC pour x>0 . x (n+1) V.F -Montrer enÞn que la fonction f′ est DSFA sur l’intervalle ]0,+∞[ et que : a +∞ ∀x>0 , f′(x)=b u(x) . ∑ a nn n=0 V.G -Exemple 1 Montrer que la fonction - est DSFA sur []0 + et calculer les coefÞ- xaf(x)=,∞ x cients notés a′ et a″ pour les fonctions f′ et f″ pour n=0,1,2,3,4 . n n VériÞer qu’on retrouve ainsi les calculs faits en seconde partie.

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