Concours Centrale Supélec - Filière PC
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Concours Centrale Supélec - Filière PC

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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2009 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Les calculatrices sont autorisées. Le problème porte sur l'étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme . Les parties I et II traitent d'un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes des deux premières, ont pour objet l'étude de propriétés de la somme d'une série factorielle convergente sur l'intervalle . Partie I - Préliminaires I.A - Pour tout entier naturel non nul, on pose : , I.A.1) Montrer que la série est convergente. I.A.2) On pose : Calculer . I.A.3) Pour , et pour quelconque dans , exprimer en fonction de et . I.A.4) En déduire la valeur de en fonction de , pour . I.B - Soient un entier et un entier naturel . Donner une majoration du reste en le comparant à une intégrale. an n! x x 1+( ) x 2+( )… x n+( )-------------------------------------------------------------- n 0≥ ∑ ]0 +∞, [ p n? IN?? u n p,( ) 1 n n 1+( )… n p+( )------------------------------

  • cp p?

  • erreur inférieure

  • base de l'espace vectoriel des polynômes

  • concours centrale -supélec


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Langue Français
MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHÉMATIQUES I
Les calculatrices sont autorisées. Le problème porte sur l’étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme n! a-. n x(x+1)(x+2)…(x+n) n0 Les parties I et II traitent d’un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes des deux premières, ont pour objet l’étude de propriétés de la somme d’une série factorielle convergente sur l’intervalle]0,+[.
Partie I - Préliminaires I.A -Pour tout entierpnaturel non nul, on pose : 1 nIN,u(n,p)=-n(n+1)…(n+p) I.A.1) Montrerque la sérieu(n,p)est convergente. n1 I.A.2) Onpose : +σ(p)=u(n,p) n=1 Calculerσ(1). I.A.3) Pourp2, et pournquelconque dansIN, exprimeru(n,p1)u(n+1,p1)en fonction depetu(n,p). I.A.4) Endéduire la valeur deσ(p)en fonction dep, pourp2. I.B -Soientqun entier2etNun entier naturel1. Donner une majoration du reste +1 q R(N,q)=-n n=N+1 en le comparant à une intégrale.
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Filière PC
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Partie II - Un exemple d’accélération de la convergence II.A -II.A.1) Montrerpar récurrence l’existence de trois suites(a),(b) et(c) p pp d’entiers naturels déÞnies pourp2que, pour tout réel tellesx strictement positif et pour tout entierpon ait : p a bx+c 1pk p = + ---3 3 x(x+1)…(x+k) x x(x+1)(x+2)…(x+p) k=2 II.A.2) Exprimera,betcà l’aide dep,betc. p+1p+1p+1p p II.A.3) Montrerque :p2,bc0. p p II.A.4) Calculera,b,cpourp=2,3et4. p pp II.B -On désire calculer une valeur décimale approchée de +1 ζ(3)=-3 n n=1 5 avec une erreur inférieure ou égale àε=510. II.B.1) Enutilisant I.B, déterminer un entier naturelNsufÞsant pour que +1 -soit inférieur àε. 3 n n=N+1 II.B.2) Donnerun majorant simple de : +b n+c 4 4 3 -n(n+1)…(n+4) n=N+1 et montrer, à l’aide de tout ce qui précède, comment calculerζ(3)pour la même valeur deεune valeur de avecN moinsgrande que celle trouvée à la question II.B.1. II.B.3) Donnerune valeur décimale approchée àεprès (par défaut) deζ(3)en utilisant ce qui précède.
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MATHÉMATIQUES IFilière PC Partie III - Séries factorielles III.A -III.A.1) Pourtout entier naturelnet pour tout réelxstrictement positif, on pose : u(x) n!1n u(x)=-,v(x)=-,w(x)=-. n nn x x(x+1)…(x+n)v(x) n (n+1) Montrer que la série de terme général w(x) n ⎛ ⎞ ln-, déÞnie pourn1, est convergente. ⎝ ⎠ w(x) n1 III.A.2) Endéduire qu’il existel(x)(dépendant dexet strictement positif) tel que : u(x) n lim-=l(x). n+v(x) n III.B -Soit(a)une suite de complexes etxun réel strictement positif. n n0 Montrer que la sériea u(x)est absolument convergente (en abrégé AC) si n n n0 et seulement si la sériea v(x)est AC. n n n0 An n0 III.C -On désigne désormais parl’ensemble des suites(a)indexées par INtelles que la sériea u(x)soit AC pour tout réelxstrictement positif. n n n0 nA Soita=(a)un élément de, montrer que : n0 III.C.1) lafonctionfÞnie par : a +xaf(x)=a u(x) an n n=0 est continue sur l’intervalle]0,+[. III.C.2) lafonctionftend vers0en+. a III.D -An III.D.1) Donnerun exemple d’un élémentadeavecanon nul pour tout entiern. III.D.2) Donnerun exemple d’une suite(a)qui ne soit pas un élément de n n0 A .
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MATHÉMATIQUES IFilière PC A III.E -Soitaun élément de. 1 III.E.1) Montrerque, pour tout entiernla fonctionxau(x)est de classeC n sur l’intervalle]0,+[et que : 1n ⎛ ⎛⎞⎞ ,n(xn-+n 1+-x>0u)u(x)l ⎝ ⎝⎠⎠ x x 1 III.E.2) Endéduire que la fonctionfest de classeCsur l’intervalle]0,+[. a N.B. On dira alors que la fonctionfest développable en série factorielle (sous-a entendu ici sur]0,+[et en abrégé DSFA) et on admettra qu’un tel développe-ment est unique. Partie IV - Représentation intégrale IV.A -IV.A.1) Soitnun entier naturel. On pose : n k=0n,P=(X+i). ki=0,ik Montrer que les polynômesPforment une base de l’espace vectorielIR[X]des k n polynômes à coefÞcients réels et de degré inférieur ou égal àn. IV.A.2) Endéduire qu’il existe des rationnels indépendants dex notés α,α, …αtels que : 0 1n n α n!k x>0,-=-. x(x+1)(x+2)…(x+n)x+k k=0 Exprimerαen fonction deketn. k IV.B -Montrer, pourx>0etkentier naturel, l’existence de l’intégrale : 1 x1+k (1y)d y 0 et calculer sa valeur en fonction deketx. IV.C -Montrer que : 1 x1nn! x>nIN(y)yy d= 0, ,1-. 0(1)…(x+n) x x+ A En déduire que, pour tout élémentade, on a : +1 x1n x>0,f(x)=a(1y)y dy. ∑ ∫ a n 0 n=0
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MATHÉMATIQUES IFilière PC A IV.D -Soitaun élément de. n IV.D.1) Montrerque la série entièrea ya un rayon de convergence supé-n n0 rieur ou égal à1. On noteφla fonction déÞnie sur[0,1[par : a +n φ(y)=a y. a n n=0 1 x1 IV.D.2) Montrerque la fonctionxa(1y)φ(y)d yest déÞnie sur]0,+[, a 0 DSFA sur ce même intervalle et égale àf. a
Partie V - Dérivabilité d’une série factorielle V.A -On reprend les notations des parties III et IV. V.A.1) Montrerque la fonctionxaf(x)est dérivable sur l’intervalle]0,+[ a et que : 1 x1 x>0,f(x)=(1y)φ(y)ln(1y)d y. a a 0 V.A.2) Montrerque la fonctionψ:yaφ(y)ln(1y)est développable en série a a entière sur l’intervalle]—,11[. V.A.3) Onpose : (n) ψ(0) a nINb= ,-. n n! VériÞer queb=0et que : 0 n1 a p * nIN,b= –-. n np p=0 V.B -Soientx>0etN1. Montrer : N N1Np b⎛ ⎞ n1 -a-. xpx ⎝ ⎠ (n+1)k(k+p+1) n=1p=0k=1 V.C -Montrer que, pour tout entierptel que0pN1, on a : Np +1 1dt --+-. x xx 1 k(k+p+1) (p+1)t(t+p+1) k=1
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MATHÉMATIQUES IFilière PC V.D -Montrer que : Np 1 ln(p+1)1 1 ⎛ ⎞ -+1+-. x x⎝ ⎠x --x k(k+p+1) (p+1) (p+1) k=1 b n V.E -En déduire que la série de terme général-est AC pourx>0. x (n+1) V.F -Montrer enÞn que la fonctionfest DSFA sur l’intervalle]0,+[et que : a +x>0,f(x)=b u(x). a nn n=0 V.G -Exemple 1 Montrer que la fonction-est DSFA sur[]0 +et calculer les coefÞ-xaf(x)=,x cients notésaetapour les fonctionsfetfpourn=0,1,2,3,4. n n VériÞer qu’on retrouve ainsi les calculs faits en seconde partie.
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