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NOM : PRENOM :
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Mathe´matiquespourlaBiologie(semestre2):Feuille-re´ponsesduTD6 Diversexamplesdemode`lesdynamiques
. .
Les deux exercices qui suivent concernent la dynamique dedpxueitnoe´itennsmpcoulopioat, dont nousavonsvuunpremierexemplelorsdelase´ance2.Notreobjectifdanslesdeuxcasestde´tudierles possibilit´esdecoexistencedecesdeuxpopulations. Exercice 1.:Le premier exemple illustre ce que l’on appelle lenciop´omexdusclnirpepictetivie. Voici sonsyst`emedi´erentielet,plusbas,sonchampsdevecteurs: 0 x= (10.5x0.33y)x (1) 0 y= (1x0.5y)y
2
1.5
y 1
0.5
0
extinction de l'espece 2
0.5
1 x
1.5
2
0 1.Calculerles´equationsdedeuxdroitesquisontlesisoclinesx=us0d`tsy(eme.)1
0 2.Meˆmequestionpourlesdeuxisoclinesy= 0.
3. A droitede la figure, tracer dans un plan (x, ydreccsnaiupeartsquhael)sesiusyst`emoclinesd r´egion(etsurlesisoclines)lese`chesdonnantlallureduchampsdevecteurs.
1
4.Combienlesyst`eme(1)a-t-ildepointsde´quilibres?Calculerleurscoordonne´es,lesrep´erersurla figure.
5.De´terminerlanaturedechaque´equilibre(noeud,col,foyeroucentre)etve´riervosr´esultatssur votre figure. Ajouter quelques trajectoires.
6.Quepensez-vousdele´volutiondesdeuxpopulationsseloncemode`le:vont-ellescoexisteroulune delleva-t-elledisparaıˆtre?Expliquer.
7. Tracerapproximativement les deux graphes des composantesx(t) ety(t) de la solution de (1) issue du pointM= (2,1).
Exercice 2.:me`tdedexuespedevtcuesrsaosci´e`aunautresysserugaLretnaviuenesr´epamchlete espe`cesencompe´tition 0 x= (1x2y)x (2) 0 y= (12xy)y ou`x(t) ety(t) s’expriment en milliers d’individus. 1.Ajoutersurcedessinlesisoclinesetlespointsde´quilibre(indiquervoscalculsci-dessous).
2
coexistence improbable: extinction de l'une des deux especes
1
0.8
0.6 y
0.4
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.81 x
2.D´eterminerlanaturedese´quilibres.
3. Tracerla trajectoire issue de (1,1). Peut-on parler dans ce cas de coexistence des deux populations ? Expliquer pourquoi.
4.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1,1ε), pourε >0 petit.
5.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1ε,1).
3
6.Expliquerpourquoiladynamiquedecemod`eleconduitenge´n´eral`alextinctiondelunedesdeux populations.
Exercice 3.:e´elavegabssnidsiumpepnotseuenquelonOanledtnocxuatsnpansnrupodesois larves dont ils se nourissent. La dynamique des deux populations de larves et de poissons dans ce bassins ressemble`acelledunmod`eledeLotka-Volterramaiselleendie`reparlefaitqueletauxdecroissance intrinse`quedeslarvesnestpasproportionela`latailledecettepopulationmaisilestsuppose´constant aucoursdutemps.Onadoncdanscecasunmod`eledutype 0 x=α1β1xy (3) 0 y=α2y+β2xy
o`ux(tlimne(sete)sreilre)esp´neetalatlieledalpopulationdelarvy(t) celle de la population de poissons. Cetypedemod`elesappelleunmode`leressource-consommateur. On suppose queα1= 20,β1= 0.04, α2= 0.75 etβ2= 0.03. 1.Quelest,seloncemode`le,letauxdemortalite´parteˆtedespoissons?Querepre´sentelescoecients β1etβ2?
0 2.Ecrirelesyste`medi´erentielpourcemod`elepuiscalculerles´equationsdesdeuxisoclinesx= 0 et y=0etlescoordonn´eesdel´equilibre.
3. Dans le quadrantx0, ychacuneds,etdansnoqsuleser4e´ig0tceracosienilselrxuedsel de´limitentplacerune`echeindiquantladirectionduchampsdevecteursassocie´.
4.Peut-onend´eduirelecomportementdesdeuxpopulationslorsquettend vers +?
4
Un pour Un
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