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´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE LAERONAUTIQUE ET DE LESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS DADMISSION 2008 ´ SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Fili`erePC (Dur´eedel´epreuve:4heures) Lusage de la calculatrice est autorise´ Sujet mis a` disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international Lescandidatssontprie´sdementionnerdefaconapparentesurlapremi`erepagedelacopie: PHYSIQUE II  PC. Le´nonc´edecette´epreuvecomporte7pages.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleetreuneerreurde´nonce´,ilestinvite´a`le signalersursacopieet`apoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilaurae´te´ amen´e`aprendre. Ilnefaudrapash´esiter`aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´erationsnum´eriques)quivous semblerontpertinents,memelorsquel´enonc´eneledemandepasexplicitement.Labare`metiendracompte decesinitiativesainsiquedesqualit´esder´edactiondelacopie. ´ DISPOSITIFS MAGNETIQUES Ceprobl`eme,dontlesdiffe´rentespartiessontlargementinde´pendantes,abordequelquesdispositifs utilis´esdansle´tudedecertainespropri´ete´sdeparticulesfondamentales.Dansdetre`snombreuxcas lesparticules,charge´es,sontenmouvementdansunchampmagn´etiquepermanent. Donn´ees: 7191 Constantes´electromagne´tiquesduvide:µo=4!×10 H.m ,"o=1/(36!)×10 F.m ,masse 3119 de le´lectron :m=9,11×:earge´el´ementair01k,ghce=1,60×10 C,Constante de BOLTZ-231 231 MANN VOGADRO k=1,38×10 J.K ,Constante dAN=6,02×10 mol. Dans le syste`me de coordonne´es cylindriques(r,#,z)de base(er,e!,ez), pour tout champ scalaire −→ −→ −→−→ V(r,#,z)et pour tout champ de vecteurF=Frer+F!e!+Fzez, on donne : −−−→$V1$V$V−→1$(rFr)1$F!$Fz −→ −→−→ grad(V) =er+e!+ezdiv(F+ +) = $r r$ #$z r$r r$ #$z ! "! "! " −→− → 1$Fz$F!$Fr$Fz$(rF!)$Fzez rot(F) =er+e!+r$ #$z$z$r$z$ #r
I.Cre´ationdechampsmagn´etiquesayantdespropri´ete´sparti-culie`res
Deuxstructuresdechampsserontaborde´es:Lechampuniformeetlechampa`variationlin´eaire.La re´giondelespacedanslaqueller`egnentceschampsposs`edelesmemespropri´et´es´electromagne´tiques que le vide.
´ DISPOSITIFS MAGNETIQUES
I.A.Champuniforme:sol´eno¨desetbobinesdeHELMHOLTZ
Onconside`reunsole´no¨decylindriquedelongueur!comportantNspires jointives identiques, circu-laires de rayonRCe.l´soo¨eneed´eourantdintensittsapcruourapurcnI=cste.
1 derdacelsnadecalepnsOien¨od´lneudostionximapproelaisseudnolirprex.Eniblta champmagn´etiqueBieltonse´´linre´¨ro´dep`eelraaui-ci.ceurdecel sol
Uneautreme´thodeclassiquedeproductiondunchampmagn´etiqueuniformeestlutilisationdes bobines de HELMHOLTZ. Les questions suivantes vont permettre dexpliciter leurs caracte´ristiques. On conside`re une spire circulaireC, de centreO, de rayonR, parcourue par un courant dintensit´e I=cste. LaxeOzest perpendiculaire au plan de la spire. On appelleBcoz(z)le champ magne´tique cr´ee´parlaspireenunpointsitue´surOz`calaetoz. 2 ExprimerBcoz(0)en fonction deµo,RetIpuisBcozen fonction deBcoz(0)et de la variable sans dimensionu=z/R.
Onconside`relemontagedelaFigure1constitut´ede deuxbobinesplatesde´paisseurn´egligeable,compos´ees chacune deNspires circulaires de rayonR,meeemd axe de syme´trieOz. Ces deux bobines ont pour centres desym´etrierespectifsO1etO2,elles sont parcourues par des courants identiques dintensite´I=cste. Les extr´emit´esdecesbobinessontse´par´eesdunedistance dHELMHOLTZest ob D=2dtenue. La configuration −→ lorsqued=R/2 . On noteBh´r´emacpalperalech ( configuration dHHOLTZetBhr,Bh!,Bhz)les com-ELM −→ posantes deBhdans la base(er,e!,ez)descoordonn´ese cylindriques (voir Figure 2). 3 On pose toujoursu=z/R, de´terminer le champ magne´tiqueBhoz(u)cre´e´ par la configuration de la Fi-Figure 1 : Bobines de HELMHOLTZgure 1 en un point situe´ sur laxeOza` la cotez. Repre´sentersurunmemegraphiquelesfonctionsu$ B uB0 etBu B0 .Que #coz( )#/#coz( )#$#hoz(u)#/#hoz( )# constatez-vous lorsqueu0 ? 4 On noteB ug u. Justifiez physi ( )=#hoz( )#quement le fait que la fonctiong(u)est paire. Ecrire, en fonction deuet de la constante%=8NµoI/(5 5R)it´etlimemenloppeve´del,g(u)deg(u)a` lordre 4 au voisinage de 0. On donne
$ %3/2 ! "2! " 1 86 32144& ' 3 44 1+x±=1'x±xx+o x 2 525 125 5 5
n n avecn1,limx o(x) =0 x0
PhysiqueII,anne´e2008li`erePC
5 De´terminer lamplitude de lintervalle centre´ sur lorigine sur lequel la fonctiong(u)ne varie pas de plus de 2% en erreur relative. 6 En conside´rant les syme´tries de la configuration montrer queBhr=Bhr(r,z),Bhz=Bhz(r,z)etBh!=0. −→ 7 On cherche une expression deBau voisinage de h laxeOzi-voisimtlenempnpdl.oUve´eecsnadtemrepe´ti nage, dobtenir
2 d g2 Bhz(r,z) =g(z) +&r+'(r) 2 dz
o`u&est une constante et'une fonction paire de la variable rnE.Mnasilituqu´eestldensioatAXWELLde´terminer la valeur de&et lexpression de'(r)en fonction de%,Ret r.nE´ddeiuerelsexpressionsdeBetBen fonction de hz hr %,R,zetr.
Figure 2 : Coordonne´es cylindriques
Unde´tecteurdeparticulescharge´esn´ecessitelaproductiondunchampmagne´tiqueuniformeetper-manent de normeB=0,5T dans un volume cylindrique de hauteurH=iam`etre4emdtdeD=4m. Onveutcomparerlesdeuxsourcesd´ecritespr´ec´edemment.Lesspiressontr´ealis´eesavecunmate´riau conducteur de section carre´e de 2mm de cote´ et lintensite´ du courantIeim´ttsil.a`eeA001
8 l´soo¨enasecundDlsnauguerddeleno!=onleuqseripsederbmominerlenm,d´eter8 doitutiliser,´eventuellementsurplusieurscouches,pourd´elivrersurOzptceleibedetrnuhcmaspsu utilise´ pour de´tecter des particules charge´es. En de´duire la longueur totale de fil conducteur que lon doit utiliser.
9 Pour lutilisation des bobines de HELMHOLTZleceetuqhuianoosquen´etimagnhampe, varie pas de plus de 2%le long de laxeOzsur toute la hauteurH. De´terminer le rayon des spires a` utiliser puis calculer le nombreNeralolgneuruotatebobine.End´eduiipsepsercruouqahdledel conducteur que lon doit utiliser.
71 10 Le fil conducteur utilise´ est du cuivre de conductivite´(=6.10 S.m .Apre`s avoir choisi la sourcedechamplaplus´economiqueenl,calculerlapuissanceperduepareffetJOULEdans celle-ci. Commentercer´esultat.Danslapratiquequellesolutiontechnologiquedoit-onutiliserpourre´aliser cette source ? I.B.  Champ line´aire : bobines de MHOLTZHEL On reprend la configuration de HELMHOLTZmais avec deux courants de meme intensite´ circulant en sens contraire conforme´ment a` la Figure 3 avec maintenant d=3R/atseleppee´´seevnreoiinrutaongttec2.Ce« EL bobines de MHOLTZH»champ.nOsni´treseesua −−→ magn´etiqueBmozcre´e´ par ces bobines sur laxeOzau voisinage deO. 11 En utilisant toujours la variable re´duiteu= Figure 3 : Bobines de MHOLTZHEL −−→ z/R, e´tablir lexpression du champBmoz(u)surl´e´ecraex Ozen un point de cotez.