EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

Description

Niveau: Supérieur
SEMESTRE D'AUTOMNE EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES 1. Calculer la dérivée des fonctions f définies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine de définition) : a) f(x) = sin(2x) sin(3x) , b) f(x) = ln | tan x? xe x| , c) f(x) = (1 + x2)1+x2 . 2. Donner une formule de dérivation pour la composée f ? g ? h. 3. Soit f la fonction définie par f(x) = arcsin 2x 1 + x2 . Trouver son domaine de définition, puis, en utilisant un calcul de dérivée, exprimer f(x) en fonction de arctan x . 4. Calculer la dérivée n-ième des fonctions définies ci-dessous : a) f(x) = 1ax + b (a 6= 0) , b) g(x) = 1 x2 ? 1 . 5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R. a) f(x) = { (x? 1)2 si x ≤ 2 x3 ? 10x si x > 2 b) f(x) = { 3(x + 1)2 si x ≤ ?1 (2x + 1)(x + 1)3 si x > ?1 6.

• x2 ≤ arctan


• x?


• polynôme de taylor tn


• généralisation du théorème de rolle


• théorème des accroissements finis


• ?1 ≤


• ex ?

Sujets

• Théorème des accroissements finis

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

SEMESTRE D’AUTOMNE EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

1. Calculer la dérivée des fonctions f définies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine de définition) : a) f ( x )= s s i i n n ( ( 2 3 x x ) )  b) f ( x ) = ln | tan x − xe x |  c) f ( x ) = (1 + x 2 ) 1+ x 2 

2. Donner une formule de dérivation pour la composée f ◦ g ◦ h . 3. Soit f la fonction définie par f ( x )=arcsin 1 2 + x x 2 . Trouver son domaine de définition, puis, en utilisant un calcul de dérivée, exprimer f ( x ) en fonction de arctan x . 4. Calculer la dérivée n -ième des fonctions définies ci-dessous : 1 a) f ( x ) = ax 1 + b ( a 6 = 0)  b) g ( x ) x 2 − 1  =

5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R . a) f ( x ) =  ( x x 3 − − 1 1 ) 0 2 x s s i i x x ≤ > 2 2 b) f ( x ) =  ( 3 2 ( x x + + 1 1 ) ) 2 ( x + 1) 3 s s i i x x ≤ > − − 1 1 6. Déterminer a et b pour que la fonction f suivante soit dérivable sur R . f ( ) =  x 2 + x + 1 si x ≥ 1 x ax 3 + bx + 2 si x < 1

7. Démontrer que la fonction f définie sur R par f ( x )= 1 2 x | x | est dérivable sur R , et calculer f ′ . 8. Soit la fonction f définie sur ] 0  + ∞ [ par f ( x ) = x x  e Par quelle valeur faut-il prolonger f en 0 , pour que le prolongement f soit continu sur R + . Dans + e ce cas, étudier si f est dérivable sur R .

9. Soit la fonction f définie sur R par x 3 | si x 6 = 0 f ( x ) =  0 ln | x si x = 0  1