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experimente par Didier Piau

De
101 pages
Niveau: Supérieur, Master
Cours de Probabilites experimente par Didier Piau devant divers publics, dont des eleves de l'ENS de Lyon inscrits en magistere de mathematiques et applications et des etudiants des universites Claude Bernard et Joseph Fourier inscrits en maıtrise puis en master de mathematiques Cours et exercices Derniere revision substantielle : mars 2010

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Cours de Probabilites
experimente par Didier Piau
devant divers publics, dont des eleves de l’ENS de Lyon inscrits
en magistere de mathematiques et applications et des etudiants
des universites Claude Bernard et Joseph Fourier inscrits en
ma^ trise puis en master de mathematiques
Cours et exercices
Derniere revision substantielle : mars 20102Table des matieres
1 Outils probabilistes 5
Avant de commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Mesures de probabilite et classes monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Probabilites produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Rappels de theorie de la mesure (d’apres D. Williams) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Esperance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Lois des grands nombres 39
2.1 Rappels sur l’independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 La convergence des series independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Applications statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Conditionnement 59
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Le theoreme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Les proprietes de l’esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Le probleme des versions regulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7 Le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8 Introduction aux les d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78TABLE DES MATIERES 4
4 Convergence en loi 83
4.1 Fonctions caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Convergence en loi : resume actualise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4 Theoremes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Chapitre 1
Outils probabilistes
Ce chapitre introduit les outils utilises dans le reste du cours. Il est, dans sa plus grande partie, assez
elementaire. Certains passages sont des redites d’un cours d’Integration.
Dans la section 1.1, le theoreme lambda{pi 1.2 et son corollaire 1.3, du^ a Dynkin, sont importants. On
pourra omettre les theoremes 1.4 de classe monotone et 1.5 de Caratheodory. Dans la section 1.2 consacree a
Radon{Nykodym, on peut choisir de tout omettre, ou bien se limiter aux de nitions 1.11 et 1.13, a l’enonce
du theoreme de Radon{Nykodym 1.12, ainsi qu’aux exemples 1.15. Dans la section 1.4, sur les probabilites
produits, on peut se limiter a la de nition 1.22 et a l’enonce du resultat dans le cas independant (theoreme
1.23). La section 1.5 est incontournable et distribuee a la classe. La section 1.7 sur les diverses notions de
convergence de suites de variables aleatoires est plus di cile que le reste dans sa partie 1.7 sur l’uniforme
integrabilite. La premiere chose a omettre est la preuve du theoreme 1.32 de Vitali. L’exercice 1.33 est aussi
important que la de nition 1.31. En n, le tableau de la section 1.7 est a savoir par c ur.
Avant de commencer
La topologie etudie les fonctions continues : une fonction f est continue si et seulement si l’image
1reciproquef (O) de tout ouvertO est un ouvert. La theorie de la mesure etudie les fonctions mesurables :
1une fonction f est mesurable si et seulement si l’image reciproque f (B) de tout ensemble mesurable B
est un ensemble mesurable.
En topologie, la notion d’ensemble ouvert repose sur le fait que toute reunion d’ouverts est un ouvert et
qu’une intersection nie d’ouverts est un ouvert. En theorie de la mesure, la notion d’ensemble mesurable
repose, entre autres proprietes, sur le fait que toute reunion denombrable d’ensembles mesurables est un
ensemble mesurable et que toute intersection denombrable d’ensembles mesurables est aussi un ensemble
mesurable. Si l’on n’impose pas que seules les operations denombrables sont licites, la theorie de la mesure
devient contradictoire.
Nous developpons ces deux idees en montrant que la theorie de la mesure est un bon cadre pour les
probabilistes.
La marche au hasard sur le reseau carre : retour en l’origine
2Un marcheur surZ se deplace de sommet en sommet en allant d’un sommet en un sommet voisin (les
quatre sommets voisins de (x;y) sont (x + 1;y), (x 1;y), (x;y + 1) et (x;y 1)) choisi au hasard (et la
probabilite de choisir chacun des quatre voisins possibles est 1=4) en faisant des pas successifs independants
(et un pas donne ne depend pas des deplacements precedents). Le modele classique pour un tel (( marcheur ))6 Outils probabilistes
est celui d’un ivrogne qui titube dans les rues de Manhattan (ou des Brotteaux).
Notons le premier instant (aleatoire) ou il repasse par son point de depart, si cet instant existe, et
posons = +1 si le marcheur ne repasse jamais par son point de depart. Si on souhaite evaluerP( = 2n)
pour n > 1 xe, il su t de compter des chemins de longueur 2 n et de diviser par le nombre total de ces
2nchemins, qui vaut 4 : c’est de la combinatoire nie. Par contre, pour evaluer une quantite comme
P( < +1);
necessite de stabilite denombrable : c’est l’idee de Lebesgue. Par contre, permettre ( plus ) est dangereux,
comme le montre le paradoxe suivant.
Un paradoxe celebre
2 3Choisissons un point au hasard sur la sphere unite S deR . La probabilite que ce point soit dans un
2sous-ensemble A de S est l’aire de A divisee par l’aire totale, 4. Tout est normal. Mais Banach et Tarski
2 2ont montre, en utilisant l’axiome du choix, qu’il existe un sous-ensemble A de S tel que S est la reunion
disjointe
2 0S =A[%(A)[% (A);
0ou% et% sont deux rotations. Soit. Donc l’aire deA est 4=3. Malheureusement, pour le m^eme sous-ensemble
2 2A de S , on peut ecrire S comme la reunion disjointe
2 0 00S =A[&(A)[& (A)[& (A);
0 00 2ou &, & et & sont trois rotations. Donc l’aire de A est aussi 4=4. D’ailleurs S est aussi la reunion de n
copies de A pour tout n> 3 (mais pas pour n = 2) et m^eme d’un nombre denombrable de copies de A. La
morale est que A n’est pas mesurable : il est si complique qu’on ne peut pas de nir son aire (sa mesure).
Le m^eme phenomene en dimension 1
1Il existe une partition du cercle S = R=Z par des ensembles disjoints A(q), q2 Q, tels que chaque
ensembleA(q) est un translate de A(0). Donc, 1 = +1 mesure(A(0)), ce qui est impossible. La construc-
1tion : surS , on considere la relation d’equivalence de nie par ((xy si et seulement six y2Q )). Soit
1A un sous-ensemble deS possedant exactement un representant de chaque classe d’equivalence (axiome du
choix). Alors A(q) =q +A convient.
1.1 Mesures de probabilite et classes monotones
L’objet de base de tout le cours est un espace de probabilite, c’est- a-dire un triplet ( ;F;P) tel que :

est un ensemble quelconque ;
F P( ) est une tribu, c’est- a-dire que F est non vide (ou contient ) et que F est stable par
passage au complementaire et par reunion denombrable ;
P est une probabilite, c’est- a-dire une mesure (positive) sur F de masse totaleP( ) = 1.
On va dans un premier temps se concentrer sur la partie ( ;F) du triplet, avant de faire intervenir la
mesureP.
Pour toute collectionC de parties de , on note (C) la tribu engendree parC c’est- a-dire l’intersection
de toutes les tribus contenantC. (Exercice : c’est une tribu.)
Si
est un espace topologique de topologie (= l’ensemble des ouverts)T , on appelleB( ) = (T ) la
tribu de Borel et les elements deB( ) des boreliens.1.1 Mesures de probabilite et classes monotones 7
Remarque 1.1 La tribuB(R), tribu borelienne deR, est engendree par les ouverts deR. Les elements de
B(R) peuvent ^etre compliques. Par contre, la famille
(R) =f]1 ;x] ; x2Rg
est beaucoup plus manipulable etB(R) a le bon gout^ (exercice !) de veri er la propriete fondamentale :
B(R) =((R)): On introduit ainsi les
Lambda-systemes et pi{systemes
De nition SoitC une partie deP( ) . On dit queC est un -systeme siC contient
et siC est stable
par di erence stricte et par reunion croissante denombrable. On dit que C est un -systeme siC est stable
par intersection nie.
Exercice -systeme + -systeme = tribu.
SiC est une collection de parties de , on note (C), resp. (C), le -systeme, resp. -systeme, engendre
parC c’est- a-dire le plus petit -systeme, resp. -systeme, contenantC. C’est l’intersection de tous les
-systemes, resp. -systemes, contenantC. (Exercice : montrer que c’est un -systeme, resp. -systeme.)
1 1Exemple. Sur S =R=Z, on considere la classeC formee des [x;x + 1=2[, x2S . Trouver (C) et (C).
Dans l’exemple de la remarque 1.1, on voit qu’une tribu peut ^etre compliquee et un -systeme ^etre plus
simple. Question : comment etudier des tribus en ne manipulant que des -systemes ? Reponse : gr^ ace au
Theoreme 1.2 (Theoreme lambda-pi) Un -systeme contenant un -systeme contient aussi la tribu
engendree par ce -systeme.
Corollaire 1.3 (Dynkin) Si P et Q sont deux probabilites sur (C) qui co ncident sur le -systemeC,
alorsP =Q (sur (C) tout entier).
Demonstration On montre que le-systeme engendre par un-systeme est un-systeme : c’est donc une
tribu et il doit contenir la tribu engendree par le -systeme car celle-ci est la plus petite tribu contenant le
-systeme. A fortiori, tout -systeme contenant le -systeme contient aussi le -systeme engendre par ce
-systeme donc il contient encore la tribu engendree par le -systeme.
Pour cela, considerons (C) le -systeme engendre parC et, pour A2(C), notons
C(A) =fB2(C) ; A\B2(C)g:
SiA est dansC, alorsC(A) contientC. De plus,C(A) est toujours un-systeme (preuve !) doncC(A) contient
(C) par minimalite de (C).
En d’autres termes, on a montre que A\B2(C) pour tout A2C et tout B2(C). Ainsi, pour tout
B2(C),C(B) contientC donc (rebelote) il contient aussi (C). Ceci termine la demonstration du fait que
(C) est un -systeme.
Exemple Le{systeme(R) engendreB(R) donc une probabiliteP surB(R) est uniquement determinee
par sa fonction de repartition F de nie sur R par
F (x) =P(]1 ; x]):8 Outils probabilistes
Exercice 1.4 (Theoreme de la classe monotone) Une collectionCP( ) est une classe monotone si
C est stable par reunion croissante denombrable et par intersection decroissante denombrable.
SoitC une algebre (m^emes axiomes qu’une tribu avec reunion nie au lieu de reunion denombrable).
Montrer que si une classe monotone contientC, elle contient aussi la tribu engendree (C). (Remarque :
classe monotone + algebre = tribu.)
Une autre fa con de construire une mesure est de partir d’une algebre.
Theoreme 1.5 (Caratheodory) Soit m : F ! [0; +1] une application -additive de nie sur une0 0
algebreF d’un ensemble
. Alors, il existe une mesure m de nie sur F = (F ) telle que m = m0 0 0
surF . Si de plus m ( ) est ni, alors cette extension est unique.0 0
Admis.
Exemple
=R etm mesure de longueur sur les reunions nies d’intervalles disjoints d’intervalles ] x;y],0
x6y, donnent la mesure de Borel surB(R).
Evenements
Des proprietes de base importantes. Soit ( ;F;m) un espace mesure.
Lemme Soit A 2F. Si A tend en croissant ou en decroissant vers A, alors A2F. Si A tend enn n n
croissant versA,m(A ) tend en croissant versm(A). SiA tend en decroissant versA et sim(A ) est ni,n n 1
alors m(A ) tend en decroissant vers m(A).n
De nition 1.6 Un ensemble N est m-negligeable s’il existe A2F tel que NA et m(A) = 0.
Une reunion denombrable d’ensembles negligeables est negligeable.
Exemple 1.7 (Le jeu de Pile ou face) Pour modeliser la suite des resultats des jets successifs d’une
Npiece de monnaie, on peut choisir
=f0; 1g . Un element ! de
est ! = (! ) avec ! = 0 ou ! = 1n n>1 n n
selon que le lancer numero n produit un ( pile ) ou un ( face ). On veut pouvoir mesurer au moins le fait
que ( pile ) sort au n{ieme coup doncF contient tous lesf! = 0g. Posonsn
F =(f! ; ! =rg : n> 1; r2f0; 1g):n
Pour n> 1, posons
1Z =n Cardfk6n ; ! = 1g:n k
Une loi des grands nombres na ve ou des considerations de symetrie incitent a conjecturer que Z convergen
vers 1=2 en un certain sens quand n devient grand. En e et, on demontrera plus loin :
P( lim Z = 1=2) = 1:n
n!1
Admettons ce resultat pour le moment et notonsA l’ensemble des suites = ((n)) strictement croissantesn
d’entiers. Pour tout 2A, on a egalement :
P( lim Z = 1=2) = 1;n
n!11.1 Mesures de probabilite et classes monotones 9
1avec Z =n Cardfk 6n ; ! = 1g: En d’autres termes, P (A ) = 1 pour A ensemble de verite de la n (k)
loi des grands nombres pour la suite : la loi des grands nombres est presque sureme^ nt vraie pour une suite
extraite xee. Pourtant, \
A = :
2A
En e et, soit la suite ( ! ) contient une in nite de 1 et on choisit pour les indicesn pour lesquels! = 1,n n n
soit elle ne contient qu’un nombre ni de 1 et on choisit =n. Dans les deux cas,p ne converge pas versn n
1=2 : la loi des grands nombres n’est jamais vraie simultanement pour toutes les suites extraites .
Exercice De nitions de lim sup et lim inf pour des ensembles. Des faits a conna^ tre et a savoir demontrer :
l’indicatrice de lim supA est la lim sup des indicatrices des A .n n
Si A 2F, alors lim supA 2F.n n
la partie triviale du lemme de Borel{Cantelli.
Exemples de mesures de probabilite
Masse de Dirac : pour x dans , (A) = 1 pour tout ensemble mesurable A qui contient x etx
(A) = 0 pour tout ensemble mesurable A qui ne contient pas x (la tribu est donc implicite mais onx
note toutes ces mesures de la m^eme fa con).
Barycentre de probabilites.
d Soit f une fonction integrable sur R , positive, et d’integrale ‘(f) = 1 par rapport a la mesure de
Lebesgue ‘. AlorsP de nie par P(A) =‘(f 1 ) est la probabilite surB(R) de densite f par rapport aA
la mesure de Lebesgue ‘.
Probabilite produit :
On se donne deux espaces de probabilite ( ;F ;P ) et ( ;F ;P ) et on de nit une tribu F =F
F1 1 1 2 2 2 1 2
sur
=

parF =(F F ) (c’est la tribu engendree par les paves). On veut construire une1 2 1 2
probabiliteP =P
P surF. Pour A2F, notons1 2
!2A =f! 2
; (! ;! )2Ag; A =f! 2
; (! ;! )2Ag:! 2 2 1 2 1 1 1 21
!2Alors A 2F pour tout ! 2
, A 2F pour tout ! 2
et d’apres le theoreme de Fubini! 2 1 1 1 2 21
Z Z
!2P (A )P (d! ) = P (A )P (d! );2 ! 1 1 1 2 21


1 2
donc on peut de