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II LES PROCESSUS AR p On admet ici D'une part que la composante purement déterministe du processus X est

De
21 pages
Niveau: Supérieur, Master
22 II- LES PROCESSUS AR(p) On admet ici : - D'une part que la composante purement déterministe du processus X est simplement une constante µ X , - D'autre part que la valeur à l'instant t du processus X est une somme pondérée des p valeurs passées et d'un bruit blanc contemporain u. Soit : x X x x x ut t X t t p t p t= ? = + + + +? ? ?µ ? ? ?1 1 2 2 ou encore : ? ? ? ? ?B x u B B B Bt t p pa f a f c h= = ? ? ? ? , avec 1 1 2 2 et toujours, E u tt = ?0, E u u s t t s u + = =RST ? 2 0 0 si sinon Ces processus autorégressifs sont évidemment toujours inversibles en revanche, comme les développements précédents l'ont déjà montré, ils ne sont pas nécessairement stationnaires : il faut pour cela pouvoir les réécrire sur une forme MA d'ordre infini ce qui impose une contrainte sur les racines du polynôme caractéristique? Ba f. Un raisonnement identique à celui mené sur les conditions d'inversibilité d'un processus MA conduit à imposer des racines de module supérieur à l'unité. Cette référence à une réécriture sous forme de MA d'ordre infini permet déjà de caractériser la mémoire du processus AR telle que mesurée sur la fonction d'autocorrélation : celle-ci sera infinie au sens où les autocorrélations entre xt et xt-k ne s'annuleront généralement pas quelle

  • développements précédents

  • racines de polynômes

  • conditions de stationarité

  • symétrie avec les conditions d'inversibilité du pocessus

  • contrainte sur les racines du polynôme caractéristique?

  • racines de module supérieur

  • ?? ?

  • ?k ?k


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II- LES PROCESSUS AR(p)   On admet ici :   D'une part que la composante purement déterministe du processus X est -simplement une constante X ,  - D'autre part que la valeur à l'instant t du processus X est une somme pondérée des p valeurs passées et d'un bruit blanc contemporain u.  Soit :   t = X t X = 1 t 1 + 2 t 2 + " + p + u  − − t p t  ou encore :   φ a B f x t = u t  , avec φ a B f = c 1 − φ 1 B − φ 2 B 2 " −φ p B p h   et toujours,       E u t = 0, t    = SR σ 2 u   s = 0 si     E u t u t + s T 0 sinon  Ces processus autorégressifs sont évidemment toujours inversibles en revanche, comme les développements précédents lont déjà montré, ils ne sont pas nécessairement stationnaires : il faut pour cela pouvoir les réécrire sur une forme MA dordre infini ce qui impose une contrainte sur les racines du polynôme caractéristique a B f . Un raisonnement identique à celui mené sur les conditions dinversibilité dun processus MA conduit à imposer des racines de module supérieur à lunité. Cette référence à une réécriture sous forme de MA dordre infini permet déjà de caractériser la mémoire du processus AR telle que mesurée sur la fonction dautocorrélation : celle-ci sera infinie au sens où les autocorrélations entre x t et x t-k ne sannuleront généralement pas quelle que soit la valeur de k. En effet, les termes u t-k , u t-k-1 ,u t-k-2 , ...sont présents simultanément dans chacune des réalisations x des temps t et t-k. En revanche, et on retrouve ici encore la symétrie avec les conditions dinversibilité discutées sur les MA, les conditions de stationarité vont imposer la convergence vers zéro de la suite des autocorrélations.  Notons encore que lécriture ci-dessus suppose des réalisations centrées. Il est naturellement possible de travailler directement sur la série X moyennant lintroduction dun terme constant dans le modèle. En effet :  
 
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  t = 1 t 1 + 2 t 2 + " + p t p + u t         @    b X t − µ X g = φ 1 b X t 1 − µ X g + φ 2 b X t 2 − µ X g + " p c X t p − µ X h + u t         @  X t = φ 1 X t 1 + φ 2 X t 2 + " p X t p + c 1 − φ 1 − φ 2 " −φ p h µ X + u t           @    X t = X t + X t + " + p X t p + c + u t 1 1 2 2   avec donc : E X = µ = c t X c 1 − φ 1 − φ 2 " −φ p h   Par la suite, et uniquement pour simplifier les écritures, nous retiendrons les écritures sur réalisations centrées.     II-A : LE PROCESSUS AR(1)   Il sécrit donc :    x t = 1 x t 1 + u t , ou encore : b 1 -1 B g x t = u t   La condition de stationarité vise à autoriser le passage à lécriture MA :   x t = b 1 − φ 1 B g 1 u t  , soit aussi : x t φ 1 i u t i  = i = 0 ce qui requiert, comme déjà noté, 1 1  La fonction dautocovariance se calcule aisément. En effet :   t = 1 t 1 + u t   t t k = 1 t 1 t k + u t t k  En se rappelant que E u t x t k = 0 si k ; 0 et E u t x t = E u t b φ 1 x t 1 + u t g = σ u 2 , il vient 1 :   0 = 1 1 + u 2     k = E x t x t k = 1 E x t 1 x t k = 1 k 1  si k ; 0                                                    1 rappel : la fonction dautocovariance est symétrique  23