II LES PROCESSUS AR p On admet ici D'une part que la composante purement déterministe du processus X est

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Description

Niveau: Supérieur, Master
22 II- LES PROCESSUS AR(p) On admet ici : - D'une part que la composante purement déterministe du processus X est simplement une constante µ X , - D'autre part que la valeur à l'instant t du processus X est une somme pondérée des p valeurs passées et d'un bruit blanc contemporain u. Soit : x X x x x ut t X t t p t p t= ? = + + + +? ? ?µ ? ? ?1 1 2 2 ou encore : ? ? ? ? ?B x u B B B Bt t p pa f a f c h= = ? ? ? ? , avec 1 1 2 2 et toujours, E u tt = ?0, E u u s t t s u + = =RST ? 2 0 0 si sinon Ces processus autorégressifs sont évidemment toujours inversibles en revanche, comme les développements précédents l'ont déjà montré, ils ne sont pas nécessairement stationnaires : il faut pour cela pouvoir les réécrire sur une forme MA d'ordre infini ce qui impose une contrainte sur les racines du polynôme caractéristique? Ba f. Un raisonnement identique à celui mené sur les conditions d'inversibilité d'un processus MA conduit à imposer des racines de module supérieur à l'unité. Cette référence à une réécriture sous forme de MA d'ordre infini permet déjà de caractériser la mémoire du processus AR telle que mesurée sur la fonction d'autocorrélation : celle-ci sera infinie au sens où les autocorrélations entre xt et xt-k ne s'annuleront généralement pas quelle

• développements précédents


• racines de polynômes


• conditions de stationarité


• symétrie avec les conditions d'inversibilité du pocessus


• contrainte sur les racines du polynôme caractéristique?


• racines de module supérieur


• ?? ?


• ?k ?k

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
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• Langue: Français

Extrait

II- LES PROCESSUS AR(p)     On admet ici :    D'une part que la composante purement déterministe du processus X est - simplement une constante X ,  - D'autre part que la valeur à l'instant t du processus X est une somme pondérée des p valeurs passées et d'un bruit blanc contemporain u.   Soit :    t = X t − X = 1 t 1 + 2 t 2 + " + p − + u   − − t p t   ou encore :    φ a B f x t = u t  , avec φ a B f = c 1 − φ 1 B − φ 2 B 2 − " −φ p B p h    et toujours,        E u t = 0, ∀ t      = S R σ 2 u    s = 0 si      E u t u t + s T 0 sinon   Ces processus autorégressifs sont évidemment toujours inversibles en revanche, comme les développements précédents lont déjà montré, ils ne sont pas nécessairement stationnaires : il faut pour cela pouvoir les réécrire sur une forme MA dordre infini ce qui impose une contrainte sur les racines du polynôme caractéristique a B f . Un raisonnement identique à celui mené sur les conditions dinversibilité dun processus MA conduit à imposer des racines de module supérieur à lunité. Cette référence à une réécriture sous forme de MA dordre infini permet déjà de caractériser la mémoire du processus AR telle que mesurée sur la fonction dautocorrélation : celle-ci sera infinie au sens où les autocorrélations entre x t et x t-k ne sannuleront généralement pas quelle que soit la valeur de k. En effet, les termes u t-k , u t- k-1 ,u t-k-2 , ...sont présents simultanément dans chacune des réalisations x des temps t et t- k. En revanche, et on retrouve ici encore la symétrie avec les conditions dinversibilité discutées sur les MA, les conditions de stationarité vont imposer la convergence vers zéro de la suite des autocorrélations.   Notons encore que lécriture ci-dessus suppose des réalisations centrées. Il est naturellement possible de travailler directement sur la série X moyennant lintroduction dun terme constant dans le modèle. En effet :  

 

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   t = 1 t − 1 + 2 t − 2 + " + p t − p + u t           @      b X t − µ X g = φ 1 b X t − 1 − µ X g + φ 2 b X t − 2 − µ X g + " +φ p c X t − p − µ X h + u t           @   X t = φ 1 X t − 1 + φ 2 X t − 2 + " +φ p X t − p + c 1 − φ 1 − φ 2 − " −φ p h µ X + u t             @      X t = X t − + X t + " + p X t p + c + u t 1 1 2 − 2 −     avec donc : E X = µ = c t X c 1 − φ 1 − φ 2 − " −φ p h     Par la suite, et uniquement pour simplifier les écritures, nous retiendrons les écritures sur réalisations centrées.         II-A : LE PROCESSUS AR(1)     Il sécrit donc :      x t = 1 x t − 1 + u t , ou encore : b 1 - 1 B g x t = u t     La condition de stationarité vise à autoriser le passage à lécriture MA : ∞    x t = b 1 − φ 1 B g − 1 u t  , soit aussi : x t ∑ φ 1 i u t − i   = i = 0 ce qui requiert, comme déjà noté, 1 ≺ 1   La fonction dautocovariance se calcule aisément. En effet :    t = 1 t − 1 + u t    ⇒ t t − k = 1 t − 1 t − k + u t t − k   En se rappelant que E u t x t − k = 0 si k ; 0 et E u t x t = E u t b φ 1 x t − 1 + u t g = σ u 2 , il vient 1 :    0 = 1 1 + u 2        k = E x t x t − k = 1 E x t − 1 x t − k = 1 k − 1  si k ; 0                                                       1 rappel : la fonction dautocovariance est symétrique  23