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Institut Fourier L3 Methodes Numeriques Universite Grenoble I 2eme semestre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Institut Fourier L3 Methodes Numeriques Universite Grenoble I 2eme semestre 2007/2008 Feuille d'exercices no 5 Interpolation polynomiale. Interpolation de Lagrange Exercice 1 : Erreur d'interpolation Soient n ? N et f ? Cn([a, b], R). Soient a ≤ x1 < x2 < ... < xn ≤ b des points de [a, b] et soit P le polynome d'interpolation de f associe aux n points xi. 1) Soit x ? [a, b], x 6= xi. En utilisant le theoreme de Rolle sur la fonction h : t 7?? f(t) ? P (t) ? f(x) ? P (x)∏n i=1(x ? xi) n ∏ i=1 (t ? xi) , montrer qu'il existe un point ? ? [a, b] tel que f(x) ? P (x) = (x ? x1)...(x ? xn)n! f (n)(?) . 2) En deduire que sup x?[a,b] |f(x) ? P (x)| ≤ Cn!?f (n)?∞ , avec C = supx?[a,b] |(x ? x1)...(x ? xn)|.

  • allure des courbes du sinus

  • rajout de points

  • polynome de hermite

  • coefficients de px0

  • courbes de bezier

  • enveloppe convexe des points mk


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Institut Fourier UniversiteGrenobleI
o Feuille d’exercices n5
Interpolationpolynˆomiale.
Interpolation de Lagrange
L3MethodesNumeriques eme 2semestre2007/2008
Exercice 1 : Erreur d’interpolation n SoientnNetf∈ C([a, b],R). Soientax1< x2< ... < xnbdes points de [a, b] et soitPoitaednoˆloeypndlmeteinolrpfassocie auxnpointsxi. 1) Soitx[a, b],x6=xiemeroeselloRedlitinu.Ethlentsafoncurlation n Y f(x)P(x) Q h:t7 →f(t)P(t)n(txi), (xxi) i=1 i=1 montrer qu’il existe un point[a, b] tel que (xx1)...(xxn) (n) f(x)P(x) =f(). n! 2)Endeduireque C (n) sup|f(x)P(x)k| fk, x[a,b]n! cC= s ave upx|(xx1)...(xxn)|. [a,b]
Exercice2:MeilleurspointsdinterpolationetpolynˆomesdeTchebychev Notre but est de trouver les pointsx1,...,xnnauqaltnesiminimquiettiC= sup|(xx[a,b] x0)...(xxn)|erosppsue[qusnarmrofreuqtenuone,utpeioatnnaeaappli.Quitta, b] = [1,1]. Pour toutx[1,1], on poseTn(x) = cos(narccos(x)). 1) Montrer queTn(cos(x)) = cos(nx) pour toutxR. Montrerque l’on a la relation de recurrenceTn+1(x) = 2xTn(x)Tn1(x) pour toutx[1,1].
1
2)EndeduirequeTnlonyoˆemededrgeestunpntsulptuahrgedseequ,emelˆoondeme   n1n2k1 2xet que les racines deTnsont exactement les nombresxk= cos,k= 1, ..., n. 2n Tnest appeleniemepevch.cTedybehnyloemoˆ 0k ux pointsx 3) Montrer que|Tn|atteint son maximum sur [1,1] ak= cos,k= 0, ..., n n 0k x) = (1) . et queTn(k 1 ˜ ˜ 4)OnconsidereTn(x) =n1Tn(x) = (xx1)...(xxn). MontrerqueTnminimise la 2 quantitesup|Q(x)|seliseapmrˆnmoopylQerdgedentnoduatepedshlumoleomnˆ x[1,1] n degreestx. 5)EndeduirelemeilleurchoixdepointspourlinterpolationdeLagrangesur[1,1].
Exercice 3 : Forme de Newton 0 Soitf∈ C([a, b],R). OnnotePx0,...,xnylopelidemoˆnrgnaegsaosicenterpolationdeLa auxnpoints+ 1x0,...,xn.osnOiahurtettsdeicneocelrseuoevPx0,...,xndans la base k e=xeeetrirconsouhaiirequelse-tad-,)cPsous la forme x0,...,xn(Xx0)...(Xk1x0,...,xn 0 1n = + ..+ (Xx)(Xx)...(Xx). Px0,...,xnx0,...,xnx0,...,xn(Xx0) +.x0,...,xn0 1n1 0 1 1)Calculerlescecients et . x0,...,xnx0,...,xn k 2) Mien t n ontrerquelecoecx0,...,xne depend que defetx0,...,xk.
k =x ,. Dorenavant,onnotera x0,...,xnf[0.., xk]. NB:ilsagitdelinterˆetdelaformedeNewtonpuisquelerajoutdepointsdecontrˆolene demandepasderecalculertouslescoecientsdupolynˆomedinterpolation. 3) Montrer quef[x0, ..., xkdependpasdelorderdse]enxi. 4) Montrer que la formule suivante est vraie : (Xx0)Px1,...,xn(Xxn)Px0,...,xn1 P=. x0,...,xn xnx0 Endeduirequef[x0, ..., xk], qui est appelee la di erence divisee d’ordrekaux points x0, ..., xkeˆtuep,recleealcutrecrtnapevemruis f[x1, ..., xk]f[x0, ..., xk1] f[xi] =f(xi), f[x0, x1, ..., xk] =. xkx0
Interpolation de Hermite
Exercice 4 :Soientx1,...,xndes points distincts d’un segment [a, b]. Soienty1,...,ynet d1,...,dnmierteioateHndnietprlonyoˆemdpellepolues.Onapqnocleuqselleerrseualsvde
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lepolynoˆmeHergededgaeouurieerfinla2ne1quiveri 0 i= 1H, ..., n(xi) =yietH(xi) =di. 1 Sifest une fonction deC([a, b],RontilapoitrmHedeede),leˆnmoopyltnredeifaux 0 pointsximoˆneeeltsylopHnndoesetilauxfaeryi=f(xi) etdi=f(xi). 1) Montrer que l’application   2n R2n1[X] →R 0 0 P7 →(P(x1), ..., P(xn), P(x1), ..., P(xn)) estunisomorphisme.EndeduirelexistenceetlunicitedupolynˆomedeHermite. Q 2 2) On poseQj(x) =(xxkpyelrˆanneolonpsHeedrteimmoedte.Mo)rquentre k6=j   n0 X Qj(xj)Qj(x) H(x) =1(xxj)yj+ (xxj)dj. Qj(xj)Qj(xj) j=1 3)DonnerlepolynˆomedeHermiteassociealafonctionsinusetauxpoints0et. Dessiner sur [0, lynˆomedeHermiteteedospnlonyoˆemdel]edurllabeurcoessunisudsopnosed, Lagrange pour les points 0 et. 2n 4) On suppose quef∈ C([a, b],R). Montrerque C (2n) sup|f(x)H(x)k| fk, x[a,b](2n)! 2 2 avecC= sup...(xx)|. Quelest le meilleur choix de pointsxpour x[a,b]|(xx1)n i l’interpolation de Hermite ?
Courbes de Bezier
Exercice 5 :izeosretutnsiliLcoesbeureBsdasitnoededssnissruereosipdoaunrl-areali teurainsiquedanslerendudesfontesdecaracteres.LacourbedeBezierassocieean+ 1 d points (Mk)k=0...ndeRpabeurcoretmraaltsetepareedecri   d [0,1] →R P B:n. k knk t7 →M kCn kt(1t) =0 1) Donner la valeur de la courbe ainsi que son vecteur tangent pourt= 0 ett= 1. 2)MontrerquelacourbedeBezierestdanslenveloppeconvexedespointsMk. 3)MontrerquelensembledescourbesdeBezierestinvariantpartransformationsanes.
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n nk knk epolynoˆmes(B 4) Montrer que la famille dk)k=0,...,n, avecB=C X(1Xest une) , k n base deRn[Xeriu:euqnE.]ded a)unecourbedeBezierdecritunsegmentsietseulementsilespointsMingilatnso,se b)larestrictiondunecourbedeBezierestencoreunecourbedeBezier, c)toutarcdeparaboleestunecourbedeBezierde niepartroispoints.
TP Scilab :
Exercice 6 :Ecrire une fonction Scilab qui associe ancouples (xi, fimeˆoy)nloelpde 1 Lagrange correspondant.Ecrire un programme qui interpole la fonctionf(x) =2sur 1+10x [1,1] avec des pointsxiequirepartis sur [1,1] et avec lesxierosorcpseradnoastnzxu dunsqui,pevelactruicsiortsetesebruoelesdonnurserreiemepolnyoˆemedcTehybhc commises par les deux interpolations. OnobserveralephenomenedeRunge:linterpolationdeLagrangeavecdespointsequi-repartisestextreˆmementmauvaisesurlesbordsdelintervalle.
2 Exercice 7 :aeeeziedeBsocierasartenaccaltbruoriEcunreogprmmranpoints deR.
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