Institut Fourier L3 Methodes Numeriques Universite Grenoble I 2eme semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Institut Fourier L3 Methodes Numeriques Universite Grenoble I 2eme semestre 2007/2008 Feuille d'exercices no 5 Interpolation polynomiale. Interpolation de Lagrange Exercice 1 : Erreur d'interpolation Soient n ? N et f ? Cn([a, b], R). Soient a ≤ x1 < x2 < ... < xn ≤ b des points de [a, b] et soit P le polynome d'interpolation de f associe aux n points xi. 1) Soit x ? [a, b], x 6= xi. En utilisant le theoreme de Rolle sur la fonction h : t 7?? f(t) ? P (t) ? f(x) ? P (x)∏n i=1(x ? xi) n ∏ i=1 (t ? xi) , montrer qu'il existe un point ? ? [a, b] tel que f(x) ? P (x) = (x ? x1)...(x ? xn)n! f (n)(?) . 2) En deduire que sup x?[a,b] |f(x) ? P (x)| ≤ Cn!?f (n)?∞ , avec C = supx?[a,b] |(x ? x1)...(x ? xn)|.

• allure des courbes du sinus


• rajout de points


• polynome de hermite


• coefficients de px0


• courbes de bezier


• enveloppe convexe des points mk

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Institut Fourier UniversiteGrenobleI

o Feuille d’exercices n5

Interpolationpolynˆomiale.

Interpolation de Lagrange

L3MethodesNumeriques eme 2semestre2007/2008

Exercice 1 : Erreur d’interpolation n Soientn∈Netf∈ C([a, b],R). Soientax 1 < x 2 < ... < x n bdes points de [a, b] et soitPoitaednoˆloeypnd’lmeteinolrpfassocie auxnpointsx i . 1) Soitx∈[a, b],x6=x i emeroeselloRedlitinu.Ethlentsafoncurlation n Y f(x)P(x) Q h:t7 →f(t)P(t) n (tx i ), (xx i ) i=1 i=1 montrer qu’il existe un point∈[a, b] tel que (xx 1 )...(xx n ) (n) f(x)P(x) =f(). n! 2)Endeduireque C (n) sup|f(x)P(x)k| fk ∞ , x∈[a,b] n! cC= s ave up x∈ |(xx 1 )...(xx n )|. [a,b]

Exercice2:Meilleurspointsd’interpolationetpolynˆomesdeTchebychev Notre but est de trouver les pointsx 1 ,...,x n nauqaltnesiminimquiettiC= sup|(x x∈[a,b] x 0 )...(xx n )|erosppsue[qusnarmrofreuqtenuone,utpeioatnnaeaappli.Quitta, b] = [1,1]. Pour toutx∈[1,1], on poseT n (x) = cos(narccos(x)). 1) Montrer queT n (cos(x)) = cos(nx) pour toutx∈R. Montrerque l’on a la relation de recurrenceT n+1 (x) = 2xT n (x)T n1 (x) pour toutx∈[1,1].

1

2)EndeduirequeT n lonyoˆemededrgeestunpntsulptuahrgedseequ,emelˆoondeme   n1n 2k1 2xet que les racines deT n sont exactement les nombresx k = cos,k= 1, ..., n. 2n T n est appeleniemepevch.cTedybehnyloemoˆ 0 k ux pointsx 3) Montrer que|T n |atteint son maximum sur [1,1] a k = cos,k= 0, ..., n n 0k x) = (1) . et queT n ( k 1 ˜ ˜ 4)OnconsidereT n (x) = n1 T n (x) = (xx 1 )...(xx n ). MontrerqueT n minimise la 2 quantitesup|Q(x)|seliseapmrˆnmoopylQerdgedentnoduatepedshlumoleomnˆ x∈[1,1] n degreestx. 5)Endeduirelemeilleurchoixdepointspourl’interpolationdeLagrangesur[1,1].

Exercice 3 : Forme de Newton 0 Soitf∈ C([a, b],R). OnnoteP x 0 ,...,x n ylopeli’demoˆnrgnaegsaosicenterpolationdeLa auxnpoints+ 1x 0 ,...,x n .osnOiahurtettsdeicneocelrseuoevP x 0 ,...,x n dans la base k e=xeeetrirconsouhaiirequel’se-tad-,)’cPsous la forme x 0 ,...,x n (Xx 0 )...(X k1x 0 ,...,x n 0 1n =+ ..+(Xx)(Xx)...(Xx). P x 0 ,...,x n x 0 ,...,x n x 0 ,...,x n (Xx 0 ) +. x 0 ,...,x n 0 1n1 0 1 1)Calculerlescecientset. x 0 ,...,x n x 0 ,...,x n k 2) Mien tn ontrerquelecoec x 0 ,...,x n e depend que defetx 0 ,...,x k .

k =x ,. Dorenavant,onnotera x 0 ,...,x n f[ 0 .., x k ]. NB:ils’agitdel’interˆetdelaformedeNewtonpuisquelerajoutdepointsdecontrˆolene demandepasderecalculertouslescoecientsdupolynˆomed’interpolation. 3) Montrer quef[x 0 , ..., x k dependpasdel’orderdse]enx i . 4) Montrer que la formule suivante est vraie : (Xx 0 )P x 1 ,...,x n (Xx n )P x 0 ,...,x n1 P=. x 0 ,...,x n x n x 0 Endeduirequef[x 0 , ..., x k ], qui est appelee la di erence divisee d’ordrekaux points x 0 , ..., x k eˆtuep,recleealcutrecrtnapevemruis f[x 1 , ..., x k ]f[x 0 , ..., x k1 ] f[x i ] =f(x i ), f[x 0 , x 1 , ..., x k ] =. x k x 0

Interpolation de Hermite

Exercice 4 :Soientx 1 ,...,x n des points distincts d’un segment [a, b]. Soienty 1 ,...,y n et d 1 ,...,d n mierteioateHndnietprlonyoˆem’dpellepolues.Onapqnocleuqselleerrseualsvde

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lepolynoˆmeHergededgaeouurieerfinla2ne1quiveri 0 ∀i= 1H, ..., n(x i ) =y i etH(x i ) =d i . 1 Sifest une fonction deC([a, b],RontilapoitrmHedeede),leˆnmoopyltnredei’faux 0 pointsx i moˆneeeltsylopHnndoesetilauxfaery i =f(x i ) etd i =f(x i ). 1) Montrer que l’application   2n R 2n1 [X] →R 0 0 P7 →(P(x 1 ), ..., P(x n ), P(x 1 ), ..., P(x n )) estunisomorphisme.Endeduirel’existenceetl’unicitedupolynˆomedeHermite. Q 2 2) On poseQ j (x) =(xx k pyelrˆanneolonpsHeedrteimmoedte.Mo)rquentre k6=j   n  0 X Q j (x j ) Q j (x) H(x) =1(xx j )y j + (xx j )d j . Q j (x j )Q j (x j ) j=1 3)DonnerlepolynˆomedeHermiteassociealafonctionsinusetauxpoints0et. Dessiner sur [0, lynˆomedeHermiteteedospnlonyoˆemdel]edurll’abeurcoessunisudsopnosed, Lagrange pour les points 0 et. 2n 4) On suppose quef∈ C([a, b],R). Montrerque C (2n) sup|f(x)H(x)k| fk ∞ , x∈[a,b] (2n)! 2 2 avecC= sup...(xx)|. Quelest le meilleur choix de pointsxpour x∈[a,b] |(xx 1 ) n i l’interpolation de Hermite ?

Courbes de Bezier

Exercice 5 :izeosretutnsiliLcoesbeureBsdasitnoededssnissruereosipdoaunrl-areali teurainsiquedanslerendudesfontesdecaracteres.LacourbedeBezierassocieean+ 1 d points (M k ) k=0...n deRpabeurcoretmraaltsetepareedecri   d [0,1] →R P B: n . k knk t7 →M k C n k t(1t) =0 1) Donner la valeur de la courbe ainsi que son vecteur tangent pourt= 0 ett= 1. 2)MontrerquelacourbedeBezierestdansl’enveloppeconvexedespointsM k . 3)Montrerquel’ensembledescourbesdeBezierestinvariantpartransformationsanes.

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n nk knk epolynoˆmes(B 4) Montrer que la famille d k ) k=0,...,n , avecB=C X(1Xest une) , k n base deR n [Xeriu:euqnE.]ded a)unecourbedeBezierdecritunsegmentsietseulementsilespointsM i ngilatnso,se b)larestrictiond’unecourbedeBezierestencoreunecourbedeBezier, c)toutarcdeparaboleestunecourbedeBezierdeniepartroispoints.

TP Scilab :

Exercice 6 :Ecrire une fonction Scilab qui associe ancouples (x i , f i meˆoy)nloelpde 1 Lagrange correspondant.Ecrire un programme qui interpole la fonctionf(x) = 2 sur 1+10x [1,1] avec des pointsx i equirepartis sur [1,1] et avec lesx i erosorcpseradnoastnzxu dunsqui,pevelactruicsiortsetesebruoelesdonnurserreiemepolnyoˆemedcTehybhc commises par les deux interpolations. OnobserveralephenomenedeRunge:l’interpolationdeLagrangeavecdespointsequi- repartisestextreˆmementmauvaisesurlesbordsdel’intervalle.

2 Exercice 7 :aeeeziedeBsocierasartenaccaltbruoriEcunreogprmmranpoints deR.

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