LicenceL3-optiondegeometrie
synthese6
10decembre2004
8.3.edupetrineelanaidnecuilImos SoitPupneennalaendiliucrepyhnU.ednalpPest une droite dePl;lanorapeieorthogasymetr rapport a une droiteDdePest appelee symetrie axiale d’axeDet noteesD. Laproposition8.1nousditqu’uneisometriefdePe’stirc’ledavtnse:unedesfaconssui – lacomposee de 0 symetrie axiale –felsrolatsxstsesedeniopeeltittmelbe’snlica’appidention defestPentier, –f=sDpourDune droite dePembledes–l’ensedsexstniopfest alorsD, 0 –f=sDsDpourDetDdeux droites deP– voir ci-dessous, 0 –f=sDsDsD– voir ci-dessous. 0 00 0 SiD=D,sDDdi’ltse.etitne 0 0 SiDetDtdsetiistenclosasrsontdeuxdortiseaparlleelsDsDest une translation de vecteur non nul 0 0 orthogonal aD(et aDov()xstedseel4dcecierexl’iredDT)4l;fauelieledespoin’ensemblsDsD 0 est vide. 0 SiDetDunesetnatniopnroxdoenutsdecsesitOalorssDsDest une rotation de centreOd’angle 0 nonnul:voirlasectionsuivanteetlesexercices2et4delafeuilledeTD4.L’ensembledespointsxes est{O}. sDsDsDeed’posacomestlfeuilleice4delalre’excritnov:ioraetlansetleund’eirtaixasenuemy 0 00 deTD4.L’ensembledespointsxesestl’ensemblevideouunedroite.
9.duplglesetanionseinlcdienuenaaRtato → 9.1.Rappel :SoientXilidneedidertcoincueenaecapsenuXetf:X→Xune application d’ensembles.feiisertlumeteesipouentssrtouesnetuomisM, N∈X, on a d(f(M), f(N)) = d(M, N). Proposition. Soitf:X→X:esntlevauieqtonoitae’dnpaencilpuvinaetsstioisnus.Lescondnsembles (i)fmosienutsee.etri (ii)fpmsoalocmoemirct’ecssydeetmesripehydeennu’rbmoinepralen.s → (iii)fisphoromogthormeeriaenidnenutsetaneetsapartielednolaseX.
9.2.seolmapuundeeiderledi’naretaiienpeatlEteir → → Rappel Soitϕ:X→Xneuenilnoitacilppandomorphaire(ouesiem.)ϕest orthogonal si et seulement → si pour tousx, y∈Xon a (ϕ(x)|ϕ(y)) = (x|y). → → Proposition. Soitϕ:X→Xtnel:semodoenune.smhirpeLcsnoiditnossiuvantessontequia (i)ϕest un endomorphisme orthogonal. → (ii)Pourtoutebaseorthonormee(e1, . . . , en) deX, la famille (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) est une base or-→ thonormeedeX. → (iii)Ilexisteunebaseorthonormee(e1, . . . , en) deXtelle que la famille (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) soit une base → orthonormeedeX. t (iv) LamatriceMdeϕsunebaseorthonormeeveriednaM M= I.
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2 OnconsidereRLa famille de vecteurs ((1avec le produit scalaire canonique.,0),(0,1)) est une base 2 2 orthonormee(BON)deRdeqieunanoeceonmrrthoaseoel’laapbpe.lOlnR. 2 2a c Soitϕ:R→Rilnoitacilppaenue.nocaqunisnalabesadematriceneairedϕest orthogonal si b d et seulement si 2 22 –a+b= 1 (c’est la traduction dekϕ(1,0)k= 1), et 2 22 –c+d= 1 (c’est la traduction dekϕ(0,1)k= 1), et –ac+bd= 0 (c’est la traduction deϕ(1,0) est orthogonal aϕ(0,1)). 2 2 Supposonscesconditionsveriees.Laconditiona+brantelineele’decrnuixe’nets , unique a un multiple entier de 2t,serp(euqlea, b) = (cos ,sin part on sait que l’orthogonal de la). D’autre droitevectorielleengendreepar(a, b) ((a, b)6= (0,0))estladroitevceotirleelneegdnreepar(b, a) ; 2 2 donc (c, d) s’ecrit (b,a) pour un∈R. Commede plusc+d= 1 on a= 1 ou=1, abcos sin c’est a dire deux possibilite pour la matrice deϕee:drmtednan=iuo1t b asin cos a bcos sin =dedeterminant1. basin cos Danslesecondcasonreconnaˆtlasymetrieorthogonaleparrapportaladroitevectorielleengendreepar (cos,(voir l’exercice 2 de la feuille de TD 4).sin ) 2 2 2 Dans le premier cas on dit queϕest la rotation vectorielle deRd’angle (relativement a la base 2 canonique deR). cos sin Proposition :. L’applicationR→GL2(R), 7→est un homomorphisme du groupe sin cos (R,+) dans le groupe GL2(R). + L’image de est noteeO(R) (ou SO2(Rlsnatilaretruta.Ce)meom()dR,+) est un groupe commutatif, 2 + onobtientquel’imagede,O(R), est commutatif (alors que GL2(R)esteˆrt)e.olnied’l 2 Laperiodicitedesfonctionscosetsinnousditquel’homomorphismeestdenoyau2Z={2 k,k∈Z}. + On obtient donc un isomorphisme de groupesR/2Z→ O(R). 2 Lien avec le corpsC 2 L’applicationR→C, (a, b)7→a+ibest un isomorphisme deR-espaces vectoriels d’inversez7→ 2 (Re(z),Im(zbase canonique ((1)). La,0),(0,1)) deRihtpseieimvacate’ssidmionreoe(1lafamill, i). 20 Le produit scalaire canonique deRcorrespond via cet isomorphisme a l’applicationCC→C, (z, z)7→ 10 0 (zz+ zz). Lanorme associee estz7→ |z|=zz. 2 Soitz0∈Cqu’on ecritz0=a+ibaveca, b∈R. L’applicationϕz0:C→C,z7→z0zest un ab endomorphisme deR-espace vectoriel.La matrice deϕz0dans la base canonique est. On b a 2 2 reconnaˆt lamatrice d’une rotation vectorielle sia+b= 1 c’est a dire si|z0|= 1. NotonsUl’ensemble des nombres complexes de module 1 ; c’est un sous-groupe du groupe multiplicatif i C=C {0}sait que l’application. On 7→eest un homomorphisme du groupe additif (R,+) dans le groupe multiplicatifCd’imageUet de noyau 2Z. i + On a donc deux homomorphismes :R/2Z→U, [ ]7→eetU→O (R),z7→mat(ϕz) dont la 2 cos sin composeeconcideavecl’application[ ]7→. Cesont tous des isomorphismes. sin cos Exercice. 2 – Soita∈Celquertron.Me1uldomedexelpmocerbedeonalhtgoeiroeurtsmaomnynRidenti e 2 aCpar rapport a la droite{a,∈R}s’ecritz7→az. – Poura∈Cquelconque montrer que l’applicationa7→az, respectivementz7→az, est la composee 2 d’unehomothetievectorielleetd’unerotationdeRv,ecetroprsiceelilteevemtn’dnuhemotohteei etd’unesymetrieorthogonale.
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