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Licence L3 option de geometrie synthese decembre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence L3 - option de geometrie synthese 6 10 decembre 2004 8.3. Isometrie du plan affine euclidien Soit P un plan affine euclidien. Un hyperplan de P est une droite de P ; la symetrie orthogonale par rapport a une droite D de P est appelee symetrie axiale d'axe D et notee sD. La proposition 8.1 nous dit qu'une isometrie f de P s'ecrit de l'une des fac¸ons suivantes : – la composee de 0 symetrie axiale – f est alors l'application identite et l'ensemble des points fixes de f est P entier, – f = sD pour D une droite de P – l'ensemble des points fixes de f est alors D, – f = sD ? sD? pour D et D? deux droites de P – voir ci-dessous, – f = sD ? sD? ? sD?? – voir ci-dessous. Si D = D?, sD?D? est l'identite. Si D et D? sont deux droites paralleles et distinctes alors sD ? sD? est une translation de vecteur non nul orthogonal a D (et a D?) (voir l'exercice 4 de la feuille de TD 4) ; l'ensemble des points fixes de sD ? sD? est vide. Si D et D? sont deux droites secantes en un point O alors sD ? sD? est une rotation de centre O d'angle non nul : voir la section suivante et les exercices 2 et 4 de la feuille de TD 4.

  • droites vectorielles

  • produit scalaire

  • sin ?

  • application lineaire de matrice

  • ??x ?

  • composee coıncide avec l'application

  • ??p


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8.3.edupetrineelanaidnecuilImos SoitPupneennalaendiliucrepyhnU.ednalpPest une droite dePl;lanorapeieorthogasymetr rapport a une droiteDdePest appelee symetrie axiale d’axeDet noteesD. Laproposition8.1nousditquuneisometriefdePestircledavtnse:unedesfaconssui – lacomposee de 0 symetrie axiale –felsrolatsx stsesedeniopeeltittmelbesnlicaappidention defestPentier, f=sDpourDune droite dePembledeslensedsex stniopfest alorsD, 0 f=sDsDpourDetDdeux droites deP– voir ci-dessous, 0 f=sDsDsD– voir ci-dessous. 0 00 0 SiD=D,sDDdiltse.etitne 0 0 SiDetDtdsetiistenclosasrsontdeuxdortiseaparlleelsDsDest une translation de vecteur non nul 0 0 orthogonal aD(et aDov()x stedseel4dcecierexliredDT)4l;fauelieledespoinensemblsDsD 0 est vide. 0 SiDetDunesetnatniopnroxdoenutsdecsesitOalorssDsDest une rotation de centreOd’angle 0 nonnul:voirlasectionsuivanteetlesexercices2et4delafeuilledeTD4.Lensembledespoints xes est{O}. sDsDsDeedposacomestlfeuilleice4delalreexcritnov:ioraetlansetleundeirtaixasenuemy 0 00 deTD4.Lensembledespoints xesestlensemblevideouunedroite.
9.duplglesetanionseinlcdienuenaaRtato 9.1.Rappel :SoientXilidneedidertcoincueenaecapsenuXetf:XXune application d’ensembles.feiisertlumeteesipouentssrtouesnetuomisM, NX, on a d(f(M), f(N)) = d(M, N). Proposition. Soitf:XX:esntlevauieqtonoitaednpaencilpuvinaetsstioisnus.Lescondnsembles (i)fmosienutsee.etri (ii)fpmsoalocmoemirctecssydeetmesripehydeennurbmoin epralen.s (iii)fisphoromogthormeeriaenidnenutsetaneetsapartielednolaseX.
9.2.seolmapuundeeiderledinaretaiienpeatlEteir → → Rappel Soitϕ:XXneuenilnoitacilppandomorphaire(ouesiem.)ϕest orthogonal si et seulement si pour tousx, yXon a (ϕ(x)|ϕ(y)) = (x|y). → → Proposition. Soitϕ:XXtnel:semodoenune.smhirpeLcsnoiditnossiuvantessontequia (i)ϕest un endomorphisme orthogonal. (ii)Pourtoutebaseorthonormee(e1, . . . , en) deX, la famille (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) est une base or-thonormeedeX. (iii)Ilexisteunebaseorthonormee(e1, . . . , en) deXtelle que la famille (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) soit une base orthonormeedeX. t (iv) LamatriceMdeϕsunebaseorthonormeeveri ednaM M= I.
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2 OnconsidereRLa famille de vecteurs ((1avec le produit scalaire canonique.,0),(0,1)) est une base 2 2 orthonormee(BON)deRdeqieunanoeceonmrrthoaseoellaapbpe.lOlnR.   2 2a c Soitϕ:RRilnoitacilppaenue.nocaqunisnalabesadematriceneairedϕest orthogonal si b d et seulement si 2 22 a+b= 1 (c’est la traduction dekϕ(1,0)k= 1), et 2 22 c+d= 1 (c’est la traduction dekϕ(0,1)k= 1), et ac+bd= 0 (c’est la traduction deϕ(1,0) est orthogonal aϕ(0,1)). 2 2 Supposonscesconditionsveri ees.Laconditiona+brantelineeledecrnuixenets , unique a un multiple entier de 2t,serp(euqlea, b) = (cos ,sin part on sait que l’orthogonal de la). D’autre droitevectorielleengendreepar(a, b) ((a, b)6= (0,0))estladroitevceotirleelneegdnreepar(b, a) ; 2 2 donc (c, d) s’ecrit (b,a) pour unR. Commede plusc+d= 1 on a= 1 ou=1,    abcos sin c’est a dire deux possibilite pour la matrice deϕee:drmtednan=iuo1t b asin cos    a bcos sin =dedeterminant1. basin cos Danslesecondcasonreconnaˆtlasymetrieorthogonaleparrapportaladroitevectorielleengendreepar (cos,(voir l’exercice 2 de la feuille de TD 4).sin ) 2 2 2 Dans le premier cas on dit queϕest la rotation vectorielle deRd’angle (relativement a la base 2 canonique deR).   cos sin Proposition :. L’applicationRGL2(R), 7→est un homomorphisme du groupe sin cos (R,+) dans le groupe GL2(R). + L’image de est noteeO(R) (ou SO2(Rlsnatilaretruta.Ce)meom()dR,+) est un groupe commutatif, 2 + onobtientquelimagede,O(R), est commutatif (alors que GL2(R)esteˆrt)e.olniedl 2 Laperiodicitedesfonctionscosetsinnousditquelhomomorphismeestdenoyau2Z={2 k,kZ}. + On obtient donc un isomorphisme de groupesR/2Z→ O(R). 2 Lien avec le corpsC 2 L’applicationRC, (a, b)7→a+ibest un isomorphisme deR-espaces vectoriels d’inversez7→ 2 (Re(z),Im(zbase canonique ((1)). La,0),(0,1)) deRihtpsei eimvacatessidmionreoe(1lafamill, i). 20 Le produit scalaire canonique deRcorrespond via cet isomorphisme a l’applicationCCC, (z, z)7→ 10 0 (zz+ zz). Lanorme associee estz7→ |z|=zz. 2 Soitz0Cqu’on ecritz0=a+ibaveca, bR. L’applicationϕz0:CC,z7→z0zest un   ab endomorphisme deR-espace vectoriel.La matrice deϕz0dans la base canonique est. On b a 2 2 reconnaˆt lamatrice d’une rotation vectorielle sia+b= 1 c’est a dire si|z0|= 1. NotonsUl’ensemble des nombres complexes de module 1 ; c’est un sous-groupe du groupe multiplicatif i C=C {0}sait que l’application. On 7→eest un homomorphisme du groupe additif (R,+) dans  le groupe multiplicatifCd’imageUet de noyau 2Z. i + On a donc deux homomorphismes :R/2ZU, [ ]7→eetUO (R),z7→mat(ϕz) dont la   2 cos sin composeeconcideaveclapplication[ ]7→. Cesont tous des isomorphismes. sin cos Exercice. 2 – SoitaCelquertron.Me1uldomedexelpmocerbedeonalhtgoeiroeurtsmaomnynRidenti e 2 aCpar rapport a la droite{a,R}s’ecritz7→az. – PouraCquelconque montrer que l’applicationa7→az, respectivementz7→az, est la composee 2 dunehomothetievectorielleetdunerotationdeRv,ecetroprsiceelilteevemtndnuhemotohteei etdunesymetrieorthogonale.
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