Lycee Brizeux Classes de PCSI

Description

Niveau: Supérieur
Lycee Brizeux Classes de PCSI Concours blanc 2011 Epreuve de Mathematiques Mardi 10 mai 2011 Duree de l'epreuve : 4 heures L'utilisation d'une calculatrice ou d'un telephone portable est interdite. ? ? ? NB : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. ? ? ? Ce sujet est compose de deux problemes independants que vous traiterez sur DEUX COPIES DISTINCTES que vous rendrez separement. ? ? ? PROBLEME I. Autour de l'exponentielle de matrices L'existence d'une fonction exponentielle definie sur certains ensembles de matrices a des consequences fondamentales dans de nombreux domaines des mathematiques (systemes differentiels, geometrie, theorie des groupes...) et de la physique (automatique, mecanique quantique,...). L'objet de ce probleme est de faire connaissance avec cette fonction au travers de deux exemples. Les parties A, B et C sont totalement independantes mais la partie D utilise les resultats et notations des parties B et C . On rappelle que, si p est un entier naturel non nul, la notation Mp(R) represente l'espace des matrices carrees d'ordre p a coefficients reels.

• autour de l'exponentielle de matrices


• equation differentielle


• groupe pour la loi de multiplication des matrices


• unite en abscisses et en ordonnees


• endomorphisme de r2


• allure de ?

Sujets

• Équation différentielle

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 61
• Langue: Français

Extrait

Lyc´eeBrizeux

Concours blanc 2011 EpreuvedeMathe´matiques

Mardi 10 mai 2011 Dure´edel’e´preuve:4heures

Classes de PCSI

L’utilisationd’unecalculatriceoud’unt´el´ephoneportableestinterdite. ? ? ? NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,a`lapr´ecisionet`alaconcisiondelar´edaction.Si uncandidatestamen´e`arepe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’e´nonce´,illesignalerasursacopieetdevra poursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilae´te´amene´a`prendre. ? ? ? Cesujetestcompose´dedeuxprobl`emesind´ependantsquevoustraiterezsurDEUXCOPIES DISTINCTESquevousrendrezse´par´ement. ? ? ?

PROBLEME I. Autour de l’exponentielle de matrices

L’existenced’unefonctionexponentielled´efiniesurcertainsensemblesdematricesadescons´equencesfondamentales dansdenombreuxdomainesdesmath´ematiques(syste`mesdiffe´rentiels,ge´ome´trie,th´eoriedesgroupes...)etdela physique(automatique,me´caniquequantique,...).L’objetdeceproble`meestdefaireconnaissanceaveccettefonction au travers de deux exemples. Les partiesA,BetCapartietesmaisle´epdnnameneitdnttonalotsDesr´esulutiliselatitnodsatstteonspaesiertB etC. On rappelle que, sipest un entier naturel non nul, la notationM p (R)ireccsra´reedso’rdreenesr´eprtamsedecapse’let pe´rs.sleonaLitaton`acoefficientGL p (R)esbm’lnemstaeledscarricesd’or´eeerdresd´neigpqui sontinversibles; on rappelle queGL p (R)est un groupe pour la loi de multiplication des matrices.

Questionpre´liminaire Pour tout entiern∈Nt´miale`rd’oreve´dpoleemepiltn)neltaoisnrte´omansder(sppel,ranau voisinage de0de la fonctionexponentielle(re´elle).

PARTIE A 2 Soitpun entier naturel non nul. Une matriceAdeM p (R)est ditenilpotente d’indice troiseifierv´leelsiA6= 0 3 etA= 0. Dans cette partie,Ad´estairecedgiennumeM p (R), nilpotente d’indice trois etIrtcialamtntiieedordr´ed’ep. Pourtoutre´elt, on noteE(t)la matrice 2 t 2 E(t) =I+tA+A . 2 1.V´erifierlarelation 2 ∀(s, t)∈RE(s)E(t) =E(s+t).

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