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Lycee Brizeux Classes de PCSI

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Niveau: Supérieur
Lycee Brizeux Classes de PCSI Concours blanc 2011 Epreuve de Mathematiques Mardi 10 mai 2011 Duree de l'epreuve : 4 heures L'utilisation d'une calculatrice ou d'un telephone portable est interdite. ? ? ? NB : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. ? ? ? Ce sujet est compose de deux problemes independants que vous traiterez sur DEUX COPIES DISTINCTES que vous rendrez separement. ? ? ? PROBLEME I. Autour de l'exponentielle de matrices L'existence d'une fonction exponentielle definie sur certains ensembles de matrices a des consequences fondamentales dans de nombreux domaines des mathematiques (systemes differentiels, geometrie, theorie des groupes...) et de la physique (automatique, mecanique quantique,...). L'objet de ce probleme est de faire connaissance avec cette fonction au travers de deux exemples. Les parties A, B et C sont totalement independantes mais la partie D utilise les resultats et notations des parties B et C . On rappelle que, si p est un entier naturel non nul, la notation Mp(R) represente l'espace des matrices carrees d'ordre p a coefficients reels.

  • autour de l'exponentielle de matrices

  • equation differentielle

  • groupe pour la loi de multiplication des matrices

  • unite en abscisses et en ordonnees

  • endomorphisme de r2

  • allure de ?


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Langue Français

Exrait

Lyc´eeBrizeux
Concours blanc 2011 EpreuvedeMathe´matiques
Mardi 10 mai 2011 Dure´edele´preuve:4heures
Classes de PCSI
Lutilisationdunecalculatriceoudunt´el´ephoneportableestinterdite. ? ? ? NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,a`lapr´ecisionet`alaconcisiondelar´edaction.Si uncandidatestamen´e`arepe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopieetdevra poursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilae´te´amene´a`prendre. ? ? ? Cesujetestcompose´dedeuxprobl`emesind´ependantsquevoustraiterezsurDEUXCOPIES DISTINCTESquevousrendrezse´par´ement. ? ? ?
PROBLEME I. Autour de l’exponentielle de matrices
Lexistencedunefonctionexponentielled´eniesurcertainsensemblesdematricesadescons´equencesfondamentales dansdenombreuxdomainesdesmath´ematiques(syste`mesdie´rentiels,ge´ome´trie,th´eoriedesgroupes...)etdela physique(automatique,me´caniquequantique,...).Lobjetdeceproble`meestdefaireconnaissanceaveccettefonction au travers de deux exemples. Les partiesA,BetCapartietesmaisle´epdnnameneitdnttonalotsDesr´esulutiliselatitnodsatstteonspaesiertB etC. On rappelle que, sipest un entier naturel non nul, la notationMp(R)ireccsra´reedsordreenesr´eprtamsedecapselet pe´rs.sleonaLitaton`acoecientGLp(R)esbmlnemstaeledscarricesdor´eeerdresd´neigpqui sontinversibles; on rappelle queGLp(R)est un groupe pour la loi de multiplication des matrices.
Questionpre´liminaire Pour tout entiernNt´miale`rdoreve´dpoleemepiltn)neltaoisnrte´omansder(sppel,ranau voisinage de0de la fonctionexponentielle(re´elle).
PARTIE A 2 Soitpun entier naturel non nul. Une matriceAdeMp(R)est ditenilpotente d’indice troiseierv´leelsiA6= 0 3 etA= 0. Dans cette partie,Ad´estairecedgiennumeMp(R), nilpotente d’indice trois etIrtcialamtntiieedordr´edep. Pourtoutre´elt, on noteE(t)la matrice 2 t 2 E(t) =I+tA+A . 2 1.V´erierlarelation 2 (s, t)RE(s)E(t) =E(s+t).
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