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Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier

De
4 pages
Niveau: Supérieur, Master
Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2008-2009 Corrige du devoir a la maison du 20 avril 2009 Exercice 1. 1. Puisque E[X|G] est G-mesurable, on a E(XE[X|G] | G) = E[X|G]2 = E(E[X|G]2 | G). Par linearite de l'esperance conditionnelle, il vient var(X|G) = E ( X2 ? 2XE[X|G] + E[X|G]2 | G ) = E ( X2|G ) ? E[X|G]2 ≥ 0 p.s. (1) 2. En utilisant (1) et l'egalite E(E[Xn|G]) = E(Xn) pour n = 1, 2, on obtient E ( var(X|G) ) + var ( E[X|G] ) = E ( E[X2|G]? E[X|G]2 ) + E ( E[X|G]2 ) ? ( E ( E[X|G] ))2 = E ( X2 ) ? ( E(X) )2 = var(X) .

  • definition de l'esperance conditionnelle

  • independantes de meme loi

  • linearite de l'esperance conditionnelle

  • convergence monotone

  • feuille de td

  • derniere inegalite

  • theoreme de convergence dominee


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Exercice 1. 2 2 1. PuisqueE[X|G] estGmesurable, on aE(XE[X|G]| G) =E[X|G] =E(E[X|G]| Gar´e´eitPa).inrl delespe´ranceconditionnelle,ilvient    2 22 2 var(X|G) =EX2XE[X|G] +E[X|G]| G=EX|G −E[X|G](1)0 p.s.
n n 2.Enutilisant(1)etle´galit´eE(E[X|G]) =E(X) pourn= 1,2, on obtient       2 2 22 Evar(X|G) +varE[X|G] =E E[X|G]E[X|G] +E E[X|G]E E[X|G]    2 2 =EXE(Xvar() =X).(2) 3. Commevar(X|G)qu2)e(edulco´eldi,.s.p0(veraE[X|G])var(Xque l’on ait). Supposons    2 ´egalit´e,var(E[X|G]) = var(XorAl).tren2)s(enıˆaEvar(X|G) =E E(XE[X|G])|G=   2 E(XE[X|G]) =0. Doncvar(E[X|G]) = var(X) ssiX=E[X|Gcses.,.p]ie,ssdirt`aXest GeR(.elbarusemtitueunp:ouerqmatlus3(talrere´ree)de´ustltailescrrerd´emontet(1)pou lexercice10delafeuilledeTD1,oubieninversementutiliserler´esultate´tablienTDainsi que(1)et(2)pourde´montrerquevar(E[X|G]) = var(X) ssiXestGmesurable). Exercice 2. 2 2 PosonsZ=aE[X|G]E[1{|X|≥a}|G]. SoitG∈ Gad´e.Vulll,etidineonncraonecelee´pstindnoi Z Z 2   X(ω) E E[1{|X|≥a}|G] 1G= dP(ω)dP(ω) 2 a {|X|≥a}∩G{|X|≥a}∩G   Z 2 2 X(ω)E E[X|G] 1G dP(ω) =. 2 2 a a G Cela prouve queE[Z1G]0 pour toutG∈ Ga`lneesbmelA.pprndeteetsconqulie´tilage´niere`i G={Z0}, qui est bien dansGcarZestGmesurable. CommeZ1{Z0}nte´seefatagitune esp´erancepositive,onaE[Z1{Z0}d0,]=uo`Z1{Z0}snocuqe´tnemraP.esqureˆu=0esprent,Zest presquesuˆrementpositive.Celad´emontreline´galite´deTchebychevconditionnelle 2 E[X|G] P[|X| ≥a| G] =E[1{|X|≥a}|G]p.s. (3) 2 a Exercice 3. On poseY=E[X|G]. 1.Pard´enitiondelespe´ranceconditionnelle,E[X1{Y=0}] =E[Y1{Y=0}] = 0 car{Y= 0} ∈ G. MaisXetX1{Y=0}poesirtoeal´saleodtuepnO.sevitislurequencenconcirbaseavnodts X1{Y=0},prerpou`stdiatuqseroteu.p.sc,e0=ωΩ,Y(ω) = 0X(ωUne autre) = 0. fa¸cond´enoncercer´esultatest:ilexisteunensembleΩ1Ω de mesureP1) = 1 tel que {Y= 0} ∩Ω1⊂ {X= 0} ∩Ω1. 2. Puisque{Y <∞} ∈ G, on a pour touts]0,1[    X XY geX(s) =E[s1{Y <∞}] =E E[s|G] 1{Y <∞}Es1{Y <∞},(4) x ou`ladernie`reine´galite´d´ecouledelin´egalite´deJensenetdelaconvexite´dex7→s. Faisonsten dresvers 1emem4).Ledrobredna(sdte´evendrsdetiilege´ntilageX(1) =E[1{Y <∞}] en vertu
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