Master Nancy

Samy Tindel

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Martingales Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Martingales Nancy-Université 1 / 26

• premières propriétés


• espace de probabilité


• m1 - martingales nancy-université


• fn


• théorème d'arrêt

Sujets

• Espace probabilisé

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Samy

T.

(IECN)

Martingales

Samy Tindel

Nancy-Université

Master

1

-

Nancy

M1 - Martingales

Nancy-Université

1

/

26

TymaEI(.M)NCaM-1Sinevsrti2é2/6

Définitions et premières propriétés

Plan

rtingalesNancy-U

Théorème d’arrt

Convergences

4

Stratégies et martingales arrtées

3

1

2

Théorème d’arrt

Stratégies et martingales arrtées

3

Convergences

4

rtMa1-)MCNIE.(yTmaS

Plan

Définitions et premières propriétés

1

2

/26ité3versU-innaycelNsniag

Adaptation

Contexte:On se donne Un espace de probabilités(ΩFP) Une filtration{F n ;n≥0} ,→Suite deσ-algèbres telles queF n ⊂ F n+1 .

Définition Une suite de variables aléatoires{X n ;n≥0}est adaptée si X n ∈ F n .

Samy.TI(ECN)1M-aMtrnigalesaNcn-yUniversité4/26

Martingales, Sur-martingales, Sous-martingales

Définition On considère une suite de variables aléatoires X={X n ;n≥0}telle que 1 {X n ;n≥0}est adaptée. 2 X n ∈L 1 (Ω)pour tout n≥0. Alors X est une martingale siX n =E[X n+1 | F n ]. X est une sur-martingale siX n ≥E[X n+1 | F n ]. X est une sous-martingale siX n ≤E[X n+1 | F n ].

aSmy.T(IECN)1M-MartingalesaNncy-Université5/26

naycU-inevsrti6é/26

Interprétation

Adaptation:La mesureX n ne dépend que de l’information jusqu’à l’instantn.

Martingale:n7→X n constante plus fluctuations.

Sous-martingale:n7→X n croissante plus fluctuations.

Sur-martingale:n7→X n décroissante plus fluctuations.

maSNCEI(.TyrtMa1-)MsNlegain

7é2/6

Définition:Soient {Z i ;i≥1}v.a. indépendantes de Rademacher ,→P(Z i =−1) =P(Z i =1) =12 On poseX 0 =0, et pourn≥1,

Marche aléatoire

Propriété:Xest unemartingale.

Xest appelée marche aléatoire dansZ.

n X n = X Z i  i=1

sNancy-UniversitCN)M1-MartingaleSmaTy(.EI

Ty(.EINCSmaingalesN)M1-Mart8étisrevinU-ycna

E[X n ] =E[X m ] =E[X 0 ]

E[X n | F m ] =X m 

Corollaire important:SoitXuneF n -martingale etm≥0. Pour toutn≥mon a

Proposition Soit X uneF n -martingale et m≥0. Pour tout n≥m on a

Espérance conditionnelle dans le passé

Démonstration:par récurrence.

6/2

Fonction convexe d’une martingale

Proposition Soient X uneF n martingale. - ϕ:R→Rune fonction convexe telle queϕ(X n )∈L 1 (Ω)pour tout n≥0. Y n =ϕ(X n ) Alors une sous-martingale.Y est

Démonstration:application de Jensen pour l’espérance conditionnelle.

Exemple:SiX n est la marche aléatoire,X n 2 est une sous-martingale ,→Les fluctuations ont tendance à croître.

aSmy.TI(CEN)1M-MartingalesNancy-Université9/26

S)MCNMa1-yTamIE.(naNsU-ycnitrelagé10/26

Plan

niversit

1

Définitions et premières propriétés

Stratégies et martingales arrtées

2

Convergences

3

Théorème d’arrt

4

n [H∙X] n = X H j ΔX j oùΔX j =X j −X j−1 j=1

Définition Soient(F n ) n≥0 une filtration et XH processusF n -adaptés. On dit que H est prévisible si H n ∈ F n−1 . La transformée de X par H est

Interprétation: 1 H≡stratégie de jeu ,→On joue aujourd’hui en fonction de l’information jusqu à hier ’ 2 H∙X≡valeur en suivant la stratégie.

tisrevin

Transformation de martingale

62/11égalertincy-UsNan(.EImaTy-1aMNCM)S