Master Nancy
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Français

Master Nancy

-

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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Martingales Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Martingales Nancy-Université 1 / 26

  • premières propriétés

  • espace de probabilité

  • m1 - martingales nancy-université

  • fn

  • théorème d'arrêt


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Nombre de lectures 42
Langue Français
Samy
T.
(IECN)
Martingales
Samy Tindel
Nancy-Université
Master
1
-
Nancy
M1 - Martingales
Nancy-Université
1
/
26
TymaEI(.M)NCaM-1Sinevsrti2é2/6
Définitions et premières propriétés
Plan
rtingalesNancy-U
Théorème d’arrt
Convergences
4
Stratégies et martingales arrtées
3
1
2
Théorème d’arrt
Stratégies et martingales arrtées
3
Convergences
4
rtMa1-)MCNIE.(yTmaS
Plan
Définitions et premières propriétés
1
2
/26ité3versU-innaycelNsniag
Adaptation
Contexte:On se donne Un espace de probabilitésFP) Une filtration{Fn;n0} ,Suite deσ-algèbres telles queFn⊂ Fn+1.
Dénition Une suite de variables aléatoires{Xn;n0}est adaptée si Xn∈ Fn.
Samy.TI(ECN)1M-aMtrnigalesaNcn-yUniversité4/26
Martingales, Sur-martingales, Sous-martingales
Dénition On considère une suite de variables aléatoires X={Xn;n0}telle que 1{Xn;n0}est adaptée. 2XnL1(Ω)pour tout n0. Alors X est une martingale siXn=E[Xn+1| Fn]. X est une sur-martingale siXnE[Xn+1| Fn]. X est une sous-martingale siXnE[Xn+1| Fn].
aSmy.T(IECN)1M-MartingalesaNncy-Université5/26
naycU-inevsrti6é/26
Interprétation
Adaptation:La mesureXnne dépend que de l’information jusqu’à l’instantn.
Martingale:n7→Xnconstante plus fluctuations.
Sous-martingale:n7→Xncroissante plus fluctuations.
Sur-martingale:n7→Xndécroissante plus fluctuations.
maSNCEI(.TyrtMa1-)MsNlegain
7é2/6
Définition:Soient {Zi;i1}v.a. indépendantes de Rademacher ,P(Zi=1) =P(Zi=1) =12 On poseX0=0, et pourn1,
Marche aléatoire
Propriété:Xest unemartingale.
Xest appelée marche aléatoire dansZ.
n Xn=XZii=1
sNancy-UniversitCN)M1-MartingaleSmaTy(.EI
Ty(.EINCSmaingalesN)M1-Mart8étisrevinU-ycna
E[Xn] =E[Xm] =E[X0]
E[Xn| Fm] =Xm
Corollaire important:SoitXuneFn-martingale etm0. Pour toutnmon a
Proposition Soit X uneFn-martingale et m0. Pour tout nm on a
Espérance conditionnelle dans le passé
Démonstration:par récurrence.
6/2
Fonction convexe d’une martingale
Proposition Soient X uneFnmartingale. -ϕ:RRune fonction convexe telle queϕ(Xn)L1(Ω)pour tout n0. Yn=ϕ(Xn) Alors une sous-martingale.Y est
Démonstration:application de Jensen pour l’espérance conditionnelle.
Exemple:SiXnest la marche aléatoire,Xn2est une sous-martingale ,Les fluctuations ont tendance à croître.
aSmy.TI(CEN)1M-MartingalesNancy-Université9/26
S)MCNMa1-yTamIE.(naNsU-ycnitrelagé10/26
Plan
niversit
1
Définitions et premières propriétés
Stratégies et martingales arrtées
2
Convergences
3
Théorème d’arrt
4
n [HX]n=XHjΔXjΔXj=XjXj1 j=1
Dénition Soient(Fn)n0une filtration et XH processusFn-adaptés. On dit que H est prévisible si Hn∈ Fn1. La transformée de X par H est
Interprétation: 1Hstratégie de jeu ,On joue aujourd’hui en fonction de l’information jusqu à hier 2HXvaleur en suivant la stratégie.
tisrevin
Transformation de martingale
62/11égalertincy-UsNan(.EImaTy-1aMNCM)S