Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine Exercice Preciser les matrices elementaires de M3 R

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 09-10 semaine 5 ————————————————————————————————————————— Exercice 1 1) Preciser les matrices elementaires de M3,3(R) : D2(?2) , T3,2(3) , T2,1(?2) . 2) Calculer la matrice A = T3,2(3)D2(?2)T2,1(?2). 3) Donner A?1 sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculer A?1. Exercice 2 1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M = ( 1 ?1 2 ?3 ) ?M2,2(R) . 2 ) Donner une expression de M?1, puis de M comme produit de matrices elementaires. ————————————————————————————————————————— 1.1) D2(?2) = D2(?2)I3 = D2(?2) ? ? ? 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ? ? ? = ? ? ? 1 0 0 0 ?2 0 0 0 1 ? ? ? . T3,2(3) = T3,2(3)I3 = T3,2(3) ? ? ? 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ? ? ? = ? ? ? 1 0 0 0 1 0 0 3 1 ? ? ? .

• expression de m?1


• produit de matrices elementaires


• appliquer avec precision


• premiere phase de l'algorithme


• inverse de di

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• Langue: Français

Extrait

NometPr ´ enom:L1MPAlg ` ebre09-10semaine5 ————————————————————————————————————————— Exercice 1 1)Pr´eciserlesmatrices´ele´mentairesdeM 3,3 (R) : D 2 (−2), T 3,2 (3), T 2,1 (−2). 2) Calculer la matriceA=T 3,2 (3)D 2 (−2)T 2,1 (−2). −1−1 3) DonnerAisPual,clecurmedesforsouecirtamedtiudorps.reaintme´eels´A. Exercice 2 1)Appliqueravecpr´ecisionl’algorithmeducourspourinverserlamatrice:  ! 1−1 M=∈M 2,2 (R). 2−3 −1 2 ) Donner une expression deM, puis deMuiodemtdomcprmeaires.lee´emtntairec´s

————————————————————————————————————————— 1.1)    1 0 01 0 0    D 2 (−2) =D 2 (−2)I 3 =D 2 (−2)  0 1 0  =  0−2 0  . 0 0 10 0 1    1 0 01 0 0    T 3,2 (3) =T 3,2 (3)I 3 =T 3,2 (3)  0 1 0  =  0 1 0  . 0 0 10 3 1    1 0 01 00    T 2,1 (−2) =T 2,1 (−2)I 3 =T 2,1 (−2)  0 1 0  =  −2 1 0  . 0 0 10 01 1.2)   1 00   A=T 3,2 (3)D 2 (−2)T 2,1 (−2) =T 3,2 (3)D 2 (−2)  −2 1 0  . 0 01   1 0 0   A=T 3,2 (3)  4−2 0  . 0 0 1   1 00   A=  4−2 0  . 12−6 1

1.3)

−1−1 A= (T 3,2 (3)D 2 (−2)T 2,1 (−2) ) −1−1−1 =T 2,1 (−2)D 2 (−2)T 3,2 (3) =T 2,1 (2)D 2 (−(1/2))T 3,2 (−3)   1 0 0   =T 2,1 (2)D 2 (−(1/2))T 3,2 (−3)  0 1 0  0 0 1   1 0 0   =T 2,1 (2)D 2 (−(1/2))  0 1 0  0−3 1   1 0 0   =T 2,1 (2)  0−(1/2) 0  0−3 1   1 0 0   =  2−(1/2) 0  . 0−3 1 2.1) Les deux lignes deMDonc,sont d’ordre 1.Mrdonn´ee.seot  ! ! 1−01 1 M 1 =T 2,1 (−2)M=B 1 =T 2,1 (−2)I 2 =B 1 M=M 1 0−1−2 1 La matriceM 1 ttsenairalugno´nhcleaLrpee.)ondiire(si´etaushtiroglaemeperi´eml’deseha esttermin´ee.Lese´l´ementsdeladiagonaledeMuqenccoreluons,utpeontnlunnate´Mest inversible.  ! ! 1−01 1 M 2 =D 2 (−1)M 1 =B 2 =D 2 (−1)B 1 =B 2 M=M 2 0 12−1  ! ! 1 03−1 M 3 =T 1,2 (1)M 2 = =I 2 B 3 =T 1,2 (1)B 2 =B 3 M=M 3 0 12−1 On obtient donc :  ! 3−1 −1 M=B 3 =. 2−1 2.2) Soit en remontant les calculs : −1 M=T 1,2 (1)D 2 (−1)T 2,1 (−2).

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On sait que l’inverse deT i,j (λ) estT i,j (−λ) et que poura6= 0, l’inverse deD i (a) estD i (1/a). −1 On rappelle que siA,BetCiltadeeslecirtamsie´rracsettrosonninversibles :(ABC) = −1−1−1 C B Aobtient alors :. On −1−1−1 M= (M) =(T 1,2 (1)D 2 (−1)T 2,1 (−2)) =T 2,1 (2)D 2 (−1)T 1,2 (−1).

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