PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 8 : Ensembles & applications. Nombres entiers. Combinatoire Rappels et compléments sur les ensembles et les applications. Exercice 1. Soient A et B deux parties d'un ensemble E. Exprimer à l'aide de quantificateurs les relations : 1. A est contenue dans B ; 2. A et B sont distinctes ; 3. A et B sont disjointes . Exercice 2. Simplifier les expressions suivantes : 1. A ? (Ac ?B) ; 2. A ? (A ?Bc)c ; 3. (A ?B)c ? (Ac ?Bc) ; 4. A ? (Ac ?B) ? (Ac ?Bc ? C) ; Exercice 3. Soit A, B et C trois sous-ensembles d'un ensemble E. Montrer que : 1. si A ?B ? A ? C et A ?B ? A ? C alors B ? C. 2. A ?B = A ? C si et seulement si A ?Bc = A ? Cc. Exercice 4. Soit X et Y deux sous ensembles d'un ensemble E tels que X ? Y = X ? Y . Montrer que X = Y . Exercice 5. Soit A un ensemble et F = (Ai)i?I une famille de sous-ensembles non vides de A indexée par I.

• ac ?b


• exercices de dénombrement


• combinaisons avec remise


• entier


• ax ?bx avec ax


• ?? ?


• ac ?bc ?


• entier naturel

Sujets

• Entier relatif
• Entier naturel

Informations

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Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

Feuille d’exercices 8 : Nombres entiers. Combinatoires

Rappels et compléments sur les ensembles et les applications.

PCSI A2010-2011

Exercice 1.SoientAetBdeux parties d’un ensembleE. Exprimer à l’aide de quantificateurs les relations : 1.AetB; 2.sont distinctesAetB.sont disjointes

Exercice 2.Simplifier les expressions suivantes : c cc 1.A∩(A∪B); 2.A∪(A∪B); c cc cc c 3.(A∩B)∪(A∩B); 4.A∪(A∩B)∪(A∩B∩C);

Exercice 3.SoitA,BetCtrois sous-ensembles d’un ensembleE. Montrer que : siA∩B⊂A∩CetA∪B⊂A∪CalorsB⊂C.

Exercice 4.SoitXetYdeux sous ensembles d’un ensembleEtels queX∩Y=X∪Y. Montrer queX=Y.

Exercice 5.SoitAun ensemble etF= (A i ) i∈I une famille de sous-ensembles non vides deAindexée parI. On dit queFest unepartitiondeAlorsque : S –A i =A; i∈I – sii6=jalorsA i ∩A j =∅.

1. Lafamille([n, n+ 1[)est-elle une partition deR? n∈Z 2. Déterminerle nombre de partition de{1,2,3}. 3. SoitB⊂A(non vide). Montrer que la famille(B∩A i ) i∈I est une partition deB.

Exercice 6.SoitE,F,Gdes ensembles etf:E→F,g:F→Gdes applications. Montrer les affirmations suivantes : 1. sigetfsont injectives alorsg◦f;est injective 2. sigetfsont surjectives alorsg◦fest surjective; −1−1 3. sigetfsont bijectives alorsg◦f; la réciproque deest bijectiveg◦fest l’applicationf◦g. Exercice 7.Montrer les affirmations suivantes : – sig◦fest injective alorsfest injective. – sig◦fest surjective alorsgest surjective. Exercice 8.Soitfetgdes applications deNversNdéfinies pour toutn∈Npar :  n sinest pair 2 f(n) = 2netg(n) = n+1 sinon 2 1.fetg?? bijectives? surjectivessont-elles injectives 2. déterminerf◦getg◦f. Exercice 9.Soitfune application deEversFetAetBdeux sous-ensembles deE. 1. Montrerquef(A∪B) =f(A)∪f(B). 2. Montrerquef(A∩B)⊂f(A)∩f(B).Montrer que sifest injective alorsf(A∩B) =f(A)∩f(B). Exercice 10.Soitfune application deEversFetXetYdeux sous-ensembles deF. Montrer que : −1−1−1 1.f(X∪Y) =f(X)∪f(Y); −1−1−1 2.f(X∩Y) =f(X)∩f(Y).

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