PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

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Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 8 : Ensembles & applications. Nombres entiers. Combinatoire Rappels et compléments sur les ensembles et les applications. Exercice 1. Soient A et B deux parties d'un ensemble E. Exprimer à l'aide de quantificateurs les relations : 1. A est contenue dans B ; 2. A et B sont distinctes ; 3. A et B sont disjointes . Exercice 2. Simplifier les expressions suivantes : 1. A ? (Ac ?B) ; 2. A ? (A ?Bc)c ; 3. (A ?B)c ? (Ac ?Bc) ; 4. A ? (Ac ?B) ? (Ac ?Bc ? C) ; Exercice 3. Soit A, B et C trois sous-ensembles d'un ensemble E. Montrer que : 1. si A ?B ? A ? C et A ?B ? A ? C alors B ? C. 2. A ?B = A ? C si et seulement si A ?Bc = A ? Cc. Exercice 4. Soit X et Y deux sous ensembles d'un ensemble E tels que X ? Y = X ? Y . Montrer que X = Y . Exercice 5. Soit A un ensemble et F = (Ai)i?I une famille de sous-ensembles non vides de A indexée par I.

  • ac ?b

  • exercices de dénombrement

  • combinaisons avec remise

  • entier

  • ax ?bx avec ax

  • ?? ?

  • ac ?bc ?

  • entier naturel


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Lycée Brizeux
Mathématiques
Feuille d’exercices 8 :Nombres entiers. Combinatoires
Rappels et compléments sur les ensembles et les applications.
PCSI A2010-2011
Exercice 1.SoientAetBdeux parties d’un ensembleE. Exprimer à l’aide de quantificateurs les relations : 1.AetB; 2.sont distinctesAetB.sont disjointes
Exercice 2.Simplifier les expressions suivantes : c cc 1.A(AB); 2.A(AB); c cc cc c 3.(AB)(AB); 4.A(AB)(ABC);
Exercice 3.SoitA,BetCtrois sous-ensembles d’un ensembleE. Montrer que : siABACetABACalorsBC.
Exercice 4.SoitXetYdeux sous ensembles d’un ensembleEtels queXY=XY. Montrer queX=Y.
Exercice 5.SoitAun ensemble etF= (Ai)iIune famille de sous-ensembles non vides deAindexée parI. On dit queFest unepartitiondeAlorsque : S Ai=A; iI – sii6=jalorsAiAj=.
1. Lafamille([n, n+ 1[)est-elle une partition deR? nZ 2. Déterminerle nombre de partition de{1,2,3}. 3. SoitBA(non vide). Montrer que la famille(BAi)iIest une partition deB.
Exercice 6.SoitE,F,Gdes ensembles etf:EF,g:FGdes applications. Montrer les affirmations suivantes : 1. sigetfsont injectives alorsgf;est injective 2. sigetfsont surjectives alorsgfest surjective; 11 3. sigetfsont bijectives alorsgf; la réciproque deest bijectivegfest l’applicationfg. Exercice 7.Montrer les affirmations suivantes : – sigfest injective alorsfest injective. – sigfest surjective alorsgest surjective. Exercice 8.Soitfetgdes applications deNversNdéfinies pour toutnNpar : n sinest pair 2 f(n) = 2netg(n) =n+1 sinon 2 1.fetg?? bijectives? surjectivessont-elles injectives 2. déterminerfgetgf. Exercice 9.Soitfune application deEversFetAetBdeux sous-ensembles deE. 1. Montrerquef(AB) =f(A)f(B). 2. Montrerquef(AB)f(A)f(B).Montrer que sifest injective alorsf(AB) =f(A)f(B). Exercice 10.Soitfune application deEversFetXetYdeux sous-ensembles deF. Montrer que : 111 1.f(XY) =f(X)f(Y); 111 2.f(XY) =f(X)f(Y).
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