PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 D e v o i r M a i s o n 1 8 U n e x e m p l e d ' i n t e g r a l e s u r u n i n t e r v a l l e n o n b o r n e A rendre pour le vendredi 11 juin. Vous devez apporter le plus grand soin a la redaction et a la pertinence des arguments avances. Les resultats doivent etre encadres. L'objet de ce probleme est d'etablir que ∫ +∞ 0 sin t t dt def = lim x?+∞ ∫ x 0 sin t t dt = pi 2 . On definit f : R?+ ? R t 7? sin tt et g : ]0, pi2 ] ? R t 7? 1t ? 1 sin t . Le probleme se decompose comme suit : • La partie I porte sur les fonctions f et g ; De plus, on y montre que F (x) = ∫ x 0 f(t) dt existe pour tout x ≥ 0. • La partie II etablit l'egalite de la moyenne (qui ne sert pas dans le calcul de l'integrale). • La partie III etablit un lemme a la « Riemann-Lebesgue ».

• riemann-lebesgue


• egalite de la moyenne


• brizeux - annee


• existence de l'integrale ∫


• sup t?


• meme denominateur


• deduire


• pertinence des arguments

Sujets

• Déduction

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

PCSI B

Math´ematiques

D e v o i rM a i s o n1 8

Lyc´eeBrizeux-anne´e2009-2010

Unexempled’int´egralesurunintervallenonborn´e

` A rendre pour le vendredi 11 juin. Vousdevezapporterleplusgrandsoina`lare´dactioneta`lapertinencedesargumentsavanc´es.Lesre´sultats doiventˆetreencadre´s.

L’objetdeceproble`meestd’e´tablirque Z Z +∞x sint fed´ sint π dt= limdt=. t t2 x→+∞ 0 0

∗ π Onde´finitf:R→Retg: ]0,]→R. + 2 sint 1 1 t7→ t7→ − t tsint Leprobl`emesede´composecommesuit: R x •La partie I porte sur les fonctionsfetg; De plus, on y montre queF(x) =f(t)dtexiste pour tout 0 x≥0. •tabliItIl´’ertieLapa´egaedellit´neenmayoansdpartcualecsltni’ledl)elarge´.enesq(iu •LapartieIII´etbailutlnmeema`al«Riemann-Lebesgue». •apaLeitre´VIseuaustileseutids(airexiliU n ) n∈N et (V n ) n∈N einfie´dra:tpenemivctpeessr Z Z π π sin((2n+ 1)t) sin((2n+ 1)t) 2 2 U n =dt;V n =dt. sint t 0 0 Z +∞ sint π •La partie V montre quedt=. t2 0

´ Partie I. Etude des fonctionsfetg

1. Montrerquefnitn´tiu0neeepsloroepngcoar. Lafonctionainsid´efiniesur[0,+∞ee´ton[ersoecentfdans la suite. R x 1 2.Ende´duirequef(t)dtiep´efiniendestbtruotuox∈[0,+∞[. 0 t ` 3.Al’aided’unde´veloppementlimit´e,´etablirqueg(t)∼ −. 6 + t→0 Indication.s.tempmiernprenees`rrapˆeumd´medu´eeairdrueusnamonetani 4.Ende´duirequegtionrcpageonolpres0nee´tiun. π Lafonctionainside´finiesur[0,oneree´t]estencogdans la suite. 2 R π 2 5. Justifierqueg(t)dtexiste. 0 R R x tx 1 sin Pard´efinition,dtate´s´oralnt`aalegf(t)dt. 0 t 0

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