UHP SPI S4 UE4 Mathématiques Feuille

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
UHP – SPI, S4, UE4.01, 2011–2012 Mathématiques/Feuille 3 Matrices Calcul matriciel 1. Soient les matrices A = ( 1 2 3 4 ) B = ? ? ? ? 1 ?2 3 ?4 ? ? ? ? C = ? ? ? ? 1 2 0 ?1 1 3 0 ?1 1 1 0 0 ? ? ? ? D = ? ? 1 0 ?1 0 2 ?2 3 ?3 1 2 ?1 2 ? ? Quels sont les produits de deux matrices possibles? Effectuer ces produits. 2. Soit A = ( 2 5 1 3 ) . Résoudre les équations suivantes : a) XA = ( ?1 3 7 4 ) , b) AX = ( 3 ?5 2 6 ) 3. Quelles sont les matrices A, à deux lignes et deux colonnes, telles que AM = MA dans les cas suivants : M1 = ( 1 0 0 0 ) M2 = ( 0 1 0 0 ) M3 = ( 1 1 0 1 ) M4 = ( 0 1 ?1 0 ) . 4. Soit A = ? ? 0 0 1 1 0 3 0 1 0 ? ?.

• formule de changement de base


• matrices d'applications linéaires


• images de vecteurs v1


• matrices


• base de r4

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• Matrice

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Extrait

Calcul matriciel

UHP – SPI, S4, UE4.01, 2011–2012 MathÉmatiques/Feuille 3

Matrices

1.Soient les matrices   1   −2   A 2 3 4= 1 B=   3 −4     1 20 1 0−1 0 −31 1     C=D = 2−2 3−3   0−1 1 1 2−1 2 1 00 Quels sont les produits de deux matrices possibles?Effectuer ces produits.   2 5 2.SoitA=. RÉsoudreles Équations suivantes : 1 3    −1 33−5 a)XA=,b)AX= 7 42 6

3.Quelles sont les matricesA, À deux lignes et deux colonnes, telles que AM=M Adans les cas suivants :      1 00 11 10 1 M 1 =M 2 =M 3 =M 4 =. 0 00 00 1−1 0

  0 0 1   4.SoitA = 10 3 . 0 1 0 2 3 a) CalculerA ,A. 3 2 b) Trouvera, b, ctels queA+aA+bA+cI= 0.

5.On considÈre les matrices    2 43−3 8−16    A = 1 30 , B= −3 7−12 . 0−1 1−1 2−3 a) CalculerAB,BA. −1−1−1−1−1−1 b) CalculerA,B,A B,B A. −1−1 c) Calculer(AB),(BA). d) Que remarque-t-on?. 6.Calculer la transposÉe des matrices suivantes :      3 2 13 2   3 2 1    A 0 1= 1 , B=, C = 10 , D 2 1= 3 . 1 0 1 2 1 02 1 t tt VÉrifier que(BC) =C B. Matrices d’applications linÉaires 4 7.On considÈre l’endomorphismefdeRdonnÉ par f(x, y, z, t) = (x−3y+ 8z−4t, x−4y+ 11z−6t,−x−y+ 4z−t,−2x+ 2z+t) 4 a) Calculer la matriceAdefdans la base canoniqueBdeR. b) Montrer queKerfest un espace de dimension 1 et dÉterminer un vecteurv 1 engendrantKerf. c) DÉterminer un vecteurw 1 non nul tel quef(w 1 ) =w 1 . 2 d) CalculerAet dÉterminer le rang def◦f. e) DÉterminer un vecteurv 2 tel quef(v 2 ) =v 1 . Montrerque{v 1 , v 2 }est une base deKer(f◦f). f) Montrer quew 1 ∈Im(f◦f)et dÉterminer un vecteurw 2 tel que{w 1 , w 2 } soit une base deIm(f◦f). 04 g) Montrer queB={v 1 , v 2 , w 1 , w 2 }est une base deR, et Écrire la 0 matriceAdefdans cette base. 0 −1 h) Calculer la matrice de passagePdeBÀBetP. Ecrire la formule de changement de bases. 0n n i) Calculer pour entiern≥1 (A), puisA.

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4 8.On considÈre l’endomorphismefdeRdonnÉ par

f(x, y, z, t) = (ax+by+t, bx+ay+z, y+az+bt, x+bz+at)

oÙaetbsont des paramÈtres rÉels. 4 a) Calculer la matriceAdefdans la base canoniqueBdeR. 0 b) Montrer que la familleBformÉe des vecteurs

v 1 = (1,1,1,1), v 2 = (−1,1,−1,1), v 3 = (−1,−1,1,1), v 4 = (1,−1,−1,1)

4 est une baseR. c) Ecrire les images de vecteursv 1 , v 2 , v 3 , v 4 dans la base canonique, puis 0 dans la baseB. 0 0 d) En dÉduire la matriceAdefdansB. 0 −1 e) Ecrire la matrice de passagePdeBÀB. CalculerP. f) VÉrifier les les calculs À l’aide de la formule de changement de bases.

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