Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee calcul differentiel Rappels de topologie Annee

Claude Bernard Lyon

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Rappels de topologie Annee 2004-2005 1 Exemples d'espace de Banach. Exercice 1 Soit E1 un espace metrique et E2 un espace de Banach. On notera par C(E1, E2) (resp. par Cb(E1, E2)) l'ensemble des applications continues (resp. bornees) de E1 dans E2. a) Montrer que si on munit Cb(E1, E2) de la norme ?f?∞ := supx?E1 ?f(x)?2, alors cet espace est un espace de Banach. b) Montrer que si E1 est compact, alors (C(E1, E2), ? · ?∞) est un espace de Banach. c) On suppose ici que E1 = [a, b] (a, b ? R, a < b) et E2 = R. On considere C1([a, b], R) l'ensemble des fonctions reelles de classe C1 sur [a, b]. On munit cet espace de la norme ?f?1 := ?f?∞ + ?f ??∞, f ? C1([a, b], R). Montrer que (C1([a, b], R), ? · ?1) est un espace de Banach. Exercice 2 On considere 1 l'espace des suites (un)n>1, a valeurs complexes et telles que ∑ n>1 |un| < +∞.

• meme ?a?1


• espace de banach


• max ?x?1


• troisieme annee


• exemples d'espace de banach


• series dans les espaces de banach


• applications ?


• matrice transposee

Sujets

• Espace de Banach
• Matrice transposée

Informations

• Publié par: ondey
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• Langue: Français

Extrait

Universit´eClaudeBernardLyonI Licencetroisi`emeanne´e:calculdiffe´rentiel Ann´ee2004-2005

Rappels de topologie

1 Exemplesd’espace de Banach. Exercice 1SoitE 1 eeuqtcem´etriunespaE 2 un espace de Banach. On notera parC(E 1 , E 2 ) (resp. parC b (E 1 , E 2 ee)s)(lr’bop.´ern)desilppasedelbmesneesnutionsconticaE 1 dansE 2 . up paceest a) Montrerque si on munitC b (E 1 , E 2 ) de la normekfk ∞ := s x∈E 1 kf(x)k 2 , alors cet es un espace de Banach. b) Montrerque siE 1 est compact, alors (C(E 1 , E 2 ),k ∙ k ∞ ) est un espace de Banach. 1 c) Onsuppose ici queE 1 = [a, b] (a, b∈R,a < b) etE 2 =Rdie`ocsn.nOreC([a, b],R) l’ensemble 1 desfonctionsre´ellesdeclasseCsur [a, b]. On munit cet espace de la norme 01 kfk 1 :=kfk ∞ +kfk ∞ , f∈C([a, b],R). 1 Montrer que (C([a, b],R),k ∙ k 1 ) est un espace de Banach. 1 Exercice 2Oere`disnocn`l’espace des suites (u n ) n>1 avelrucseuq,a`ettellesomplexes X |u n |<+∞. n>1 On munit cet espace d’une norme en posant +∞ X 1 kuk 1 =|u n |, u= (u n ) n>1 ∈` . n=1 Montrer que (` 1 ,k ∙ k 1 ) est un espace de Banach. ∞ Exercice 3consid`erenO`l’espace des suites (u n ) n>1 es´ernboetesexplmocsruelava`tec 0 le ∞ sous-espace des suites (u n ) n>1 tendant vers 0. On munit`d’une norme en posant ∞ kuk ∞ := sup|u n |, u= (u n ) n>1 ∈` . n>1 ∞ a) Montrerque (` ,k ∙ k ∞ ) est un espace de Banach. ∞ b) Montrerquec 0 cefeespaous-tunsseedmre´`e´udE.dn(ueeqirc 0 ,k ∙ k ∞ ) est un espace de Banach. Exercice 4SoitEetFdeuxespacesvotceleirronsse´mnn.OepotarL(E;F) l’ensemble des appli- cationslin´eairescontinuesdeEdansF, muni de la norme  ! kT xk F kTk:= supkT xk F = inf= sup{M >0 :kT xk F 6Mkxk E ,∀x∈E}. kxk E x∈E ,kxk E 61 x∈E ,x6=0 Montrer que siFest un espace de Banach, alorsL(E;F) est un espace de Banach. Exercice 5SoitFunKes-m´e.MontrerqueapecevtcroeinlroL(K;Ftienemquherpmosoitse)irte´mos a`F. Exercice 6SoientE 1 , . . . , E n , Forievectacdeessesposti,stemre´slonf:E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n →Fune applicationmultilin´eaire.Rappelonsquefest continue surE 1 × ∙∙ ∙×E n si et seulement sifest continue en (0, . . . ,0) ou si et seulement s’il existeC >0 tels que n Y kf(x 1 , . . . , x n )k F 6Ckx i k E i ,(x 1 , . . . , x n )∈E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n .(1) i=1 Pourf∈ L(E 1 , . . . , E n ;F), on pose kfk:= sup{kf(x 1 , . . . , x n )k F :x i ∈E i ,kx i k E i 61}.

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