Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee calcul differentiel Rappels de topologie Annee

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Rappels de topologie Annee 2004-2005 1 Exemples d'espace de Banach. Exercice 1 Soit E1 un espace metrique et E2 un espace de Banach. On notera par C(E1, E2) (resp. par Cb(E1, E2)) l'ensemble des applications continues (resp. bornees) de E1 dans E2. a) Montrer que si on munit Cb(E1, E2) de la norme ?f?∞ := supx?E1 ?f(x)?2, alors cet espace est un espace de Banach. b) Montrer que si E1 est compact, alors (C(E1, E2), ? · ?∞) est un espace de Banach. c) On suppose ici que E1 = [a, b] (a, b ? R, a 1, a valeurs complexes et telles que ∑ n>1 |un| meme ?a?1 espace de banach max ?x?1 troisieme annee exemples d'espace de banach series dans les espaces de banach applications ? matrice transposee