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Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques SCL5MT01 –Analyse fonctionnelle Automne 2006 Page web: http : // II. Initiation a l'integrale de Lebesgue Henri Lebesgue (1875–1941) PSfrag replacements Sommes de Lebesgue x a b An An,j ?j ?j?1 ?j f(x) n j 2n j?1 2n

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f(x)
n
j n 2 j1 n 2
II.InitiationalintegraledeLebesgue
a
Henri Lebesgue (1875–1941)
Sommes de Lebesgue
An
An,j
b
x
LatheoriedeLebesgueselaboredansuncadretresgeneral.Oncommenceraparcon-sidererdesensemblesX,Y,. . .tout a fait quelconques, puis on particularisera peu a peu lecontexteau ldesparagraphes.Danslapratique,onconsidereradeuxcasmodeles: cas discret:X=Nmuni de lamesure de comptage  n cas continu:X=Rmuni de lamesure de Lebesgue 1. Tribus De nition:SoitXun ensemble quelconque Unetribu(ouaelgebr) surXest une familleAde parties deXtelle que (i)∅ ∈ A (ii)A:eatrienemlmpcoaugesasaprapelbatstse A∈ A=XrA∈ A (iii)Ableptstaesblra:esesdmbnoasnoulpurrainue A1, A2. ., .∈ A=A1A2. . .∈ A Unespace mesurable(X,A) estun ensembleXmuni d’une tribuA Remarques : laceremppeut),onapr(r)iecaii(aˆrG (i’)X∈ A aprGpeon),iia(eacrˆ)iii(recalpmertu (iii’)Asestatbleparintersectiasnoulpuedsbmonblra:es A1, A2, .. .∈ A=A1A2. . .∈ A A, B∈ A=ArB∈ A  DansAleetuot,noinuerdusplauabbromenA1A2. . .  peutsecrirecommereuniondisjointeB1tB2t. . . Exemples : Toute tribuAsurXertneesirpmoctseet:svinaseusˆrmesextribueuxtlesd latreubirsorgeis{ ∅, X} lasirceettrudibP(X)  snocno,eareredifmentioncontrairSua buriatletrscdieP(N) dansle casX=N n n latribelieunbnoerB(Rle cas) dansX=R(voir ci–dessous) De nitionproposition:SoitEune famille de parties d’un ensembleX. L’intersection de toutes les tribus surXqui contiennentEest encore une tribu surX. C’est la plus petite tribu surXcontenantE. On l’appelle laneubdnegeertriparEet on la noteT(E) . Remarque :ribuelatcrirededelicidtnevoutsesIlT(Eureneeapdnrneeg)mifaell donneeEde parties deXrpiteedsuepxortiliselefaut,onu.edAtnaviussiuq,se caracterisentT(E) : T(Eune tribu contenant) estE. End’autres termes, T(E) contientE,etX T(Erpassageaucomplementea)itrsetsbaelap T(Estatlbperarueinsable)esuasnsulpnedrbmoseonnttiseerioct SiAest une tribu contenantE, alorsAcontientT(E)
Exemple 1:Soit (X, duq.eteircemespa)un LabiburtneenlieorB(X) estla tribu surXretgsndeednreeaplrseuoevX. CestaussilatribuengendreeparlesfermesdeX. SiddiscanceesurreteidtstsalX, alorsB(Xisudibtrteecraltse)P(X) La tribu borelienneB(Rdeestiartse)egnerlesfamindreepanaetdspellseusviR: les ouverts deR mrefseleesdR les intervalles]a, b[ [les intervallesa, b] les intervalles[a, b[ ]les intervallesa, b] les intervalles]a,+[ [les intervallesa,+[ ]les intervalles ∞, b[ les intervalles] ∞, b]  2 2 La tribu borelienneB(Riussellimafselraepedrenngtees)epartiesdvantesdeR: 2 uoevtr,selsermfesdesprees.lR 2 uqsiuosedselesde,serevtrrempsf.R les produitsIJd’intervalles (ouverts,fermesoumixtes;delongueur nieouin nie) suonerpurieeIemedmidnisne Exemple 2:Soient (X,A) et (Y,Bespaces mesurables) deux Latribu produitBA est la tribu surXY engendreeparlesproduitsABavecA∈ AetB∈ B 2 B(R) =B(R) B(R) dIemidnemeupnsionsreeurie Pourterminer,voicilesdeuxmanieresdetransfererdestribusaumoyendapplications. De nitionproposition:Soitf:X →Yune application entre deux ensembles (i)uqepiorTruiibgemaecr: SoitBune tribu surY. 1 AlorsfB={AX| ∃B∈ Bt.q.A=f(B)}est une tribu surX. (ii)Tribu image directe: SoitAune tribu surX. 1 AlorsfA={BY|f(B)}∈ Aest une tribu surY. Remarque :,ueeveriemprAB={f(A)|A∈ A}est un candidat plus simple pour de nirlimagedirecte.MaisilnesagitpasdunetribusurY.alernegne