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Chapitre 5
Martingales,arbitrageetcompl´etude
1 Lanotiondemartingalejoueaujourdhuiunroˆlecentralennancemathe´matique;ellee´taitde´ja pr´esentedanslath`esedeLouisBachelieren1900maisellenacommence´a`eˆtre´etudi´eesyst´ematiquement parlesmathe´maticiensquevers1940,notammentparP.LevyetJ.L.Doob,etplustardparle´colede probabilit´esdeStrasbourg,notammentP.A.Meyer.Cenestqua`landesanne´es70etaude´butdes anne´es80(dansuns´eriesdarticlesdeM.J.Harrison,D.M.KrepsetS.R.Pliska)quelonacommence´ `acomprendrelesliensentrelesnotions´economiquesounancie`resdabsencedoportunite´darbitrageet decompl´etudedumarche´etlanotionmath´ematiquedemartingale.Cesontcesliensquenouse´tudions icia`traversnotammentdeuxr´esultatsimportantsparfoisappel´eslesdeuxthe´ore`mesfondamentauxde lanancemath´ematique.
5.1 Martingales Intuitivement,unemartingaleestunemarcheale´atoirenayantnitendancehaussi`erenitendance baissie`re,savaleura`chaqueinstant´etant´egalea`lespe´rancedesesvaleursfutures.Onutilisedes marchesale´atoiresayantcettepropri´et´epourmod´eliserleprixdesactifsnancierscarunprixdemarch´e estunnombresurlequeldeuxparties,cellequiache`teetcellequivend,tombentdaccord;sileprix avaitunetendance`alahausse,levendeurnauraitpasaccept´elatransactionetinversementsilavait unetendancea`labaissecestlacheteurquilauraitrefuse´.Doncilestnatureldesupposerquunfair-pricenenaleC.elagnitaremedt´´eriopprirpeenavrpxieuelentqllemnenutraiatacsaes,rlnolte´aal dumondequiser´ealise,ilaugmenteeectivementoubiendiminue.Maislorsquelonprendencompte lensembledes´etatsdumondepossibles,ilestraisonnabledesupposerquesavariationespe´re´eestnulle. Biensˆur,lesve´ritablesvariationsduprixquiinterviendrontdanslare´alite´,etquide´pendentdele´tatdu monde,serontcertainementnonnulles.Dailleurs,cestparcequelesdeuxpartiesnontpaslesmˆemes anticipationssurle´tatdumondequivaser´ealiserquelatransactionalieu. De´nition:Soit (Ω,T, Pnu)apseeistiotilis´enceprobabF:= (Ftfiltration de Ω. On dit) une tT quunemarcheale´atoireM:= ( Mt)t[0.tuneF-martingale(mtg) siet seulement si .T]δest pour tousst,Ms=E(Mt|Fs).(5.1)
Observonsquilre´sultedelad´enitiondelesp´eranceconditionnellequuneF-martingale est toujours unemarcheal´eatoireFtoutuq,eopru`--aider´tpada-tsec,eet, la v.a.MtestFt-mesurable. Lapropositionsuivantedonnetroisautrescaract´erisationsdelaproprie´te´demartingale,souvent utiles,quide´coulent´egalementdespropri´et´esdelesp´eranceconditionnelle.OnutiliselanotationEsX:= E(X|Fs). Proposition 5.1´te´usserpseirpot´onuieqanivssteaveltnseL 1.Mest une martingale. 2. PourtoutsT,Ms=Es(Ms+δt). 3. PourtoutsT,Es(δMs+δt) = 0u,o`δMs+δt:=Ms+δtMs. 4. PourtoutstdansT,Es(MtMs) = 0.
1 Voir le livre de Nicolas Bouleau,rahce´sancneisrMartingalesetm, Editions Odile Jacob, 1998 23
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´ CHAPITRE 5.MARTINGALES, ARBITRAGE ET COMPLETUDE
Preuve :´itee´lipaorrpment2etse´evidemniartne1e´te´irproap:leirlacuirnocaritnots´dmetunenfaiO 2 est vraie, on a : Es(Ms+δtMs) =Es(Ms+δt)Ms=MsMs= 0. Do`ulaproprie´t´e3.Sicelle-ciestvraie,alors tδt tδt tδt X XX Es(MtMs) =Es( (Mτ+δtMτ)) =E(δMτ+δt) =Es(Eτ(δMτ+δt)) = 0. τ=s τ=s τ=s Dou`laproprie´te´4.Onve´rieennquelaproprie´t´e4implique`asontourlaproprie´te´1carMsEs(Mt) = Es(MsMt) = 0.Exemples : 1. Lepremier exemple est celui de lap-marche de Wiener (Wtp)aqueourlnapalleoe´drtin:noi tT E(δWt) =p δt+ (1p)(δt) = (2p1)δt. 1 Donccestunemartingale(parrapport`alaltrationquiluiestassoci´ee)sietseulementsip= . 2 2.Lesecondexempleestceluidelamarcheale´atoiredeCox,RossetRubinstein(St)quieom´dlesi tT leprixdunactifnanciera`linstanttrobaunepuverrtrouoP.´teibilp=P(St+δt/St=u) telle quesavaleuractualise´esoitunemartingale,onproce`dedelafa¸consuivante:sird´esigneletaux rt ˜ ˜ descomptemone´taire,suppos´econstant,etSttualixac,is´eelrpSt:=e St, on a les relations suivantes que doit satisfairep: ˜ ˜ r(t+δt)r(t+δt)rδt Et(St+δt) =eE(St+δt) =e(pStu+ (1p)Std) =e(pu+ (1p)d)St. ˜ rδt DoncStest uneF-martingaele pourvu quepu+ (1p)d=ebalitie´irqseu.outrreOnobprlave neutreintroduitepoure´valuerleprixdoptions: rδt ed p=. ud Danslemod`eleCRR,laprobabilite´risqueneutreestdoncluniqueprobabilit´epourlaquellela valeuractualis´eedelactifsous-jacentestunemartingale. 3.Letroisi`emeexempleestceluidunemartingaleferme´eparunev.a.:siΦestunev.a.surun espaceprobabilis´emuniduneltrationF= (Fteriotae´laehcramla,)(Xtiepa´endr) tTtT Xt:=E/Ftse,t)lagneD.emenuitractrun,iorcpastonueno,dntiuqen´eralefa¸cong´F-martingale Mtest une martingale.arape.valferm´esΦtllei´esriecMt:=E/Ft) pour une certaine v.a. Φ. Cestunefac¸onnaturelledeconstruireunemartingaleetcestcequenousavonsfait`atraversla ˜ fomule fondamentale pour la marcheCt. Nous avons vu en effet que r(Tt) Ct=eE(ϕ(ST)/Ft) rt rT cequis´ecritencoree Ct=E(e ϕ(ST)/FtleindiqundamentaroumelofiAsnlifa).tuota`uqe ˜ instanttliuactxariep,l´seCt(enneop´eneurtpoinuoedT , ϕ(STelagmrefpee´alra)st)emalainrt ˜ v.a.ϕ(ST).
Proposition 5.2Si(Mt)est une martingale, alorst7→E(Mt)est constant et pour touttTon tT aE(Mt) =E(M0). En particulier siM0nev.estuage´,etnatsnoc.arembnoauleM0, on a pour toutt, E(Mt) =M0. ˜ Decettepropositionapplique´e`alamartingale(Ct,on)uitid´edidtamme´qteumeneurlevalalade tT ˜ ˜ primeC0cedupayeoltsenare´pseCT=ϕ(ST). Pour finir ce paragraphe, indiquons la definition de sur- et sousmartingale, utile notamment pour letudedesoptionsam´ericaines. 2 De´nition:On dit qu’une m.a. (Xt) estuneF-sous -martingalesi et seulement siXestFtpada-ee´ tT et pour tousst, XsE(Xt| Fs).(5.2) Ond´enitdefa¸conanaloguelesF-surmartingalesuten.m.auqeitsa`alofsin.uEsveirdueem-metn une sousmartingale est une martingale.
2 retenir que toute valeurXsde la marche est “sous” (elnnioitouet)dleare´psednoc(ecn)lfuture(tevaleurE(Xt|Fs)).