Chapitre 5
Martingales,arbitrageetcompl´etude
1 Lanotiondemartingalejoueaujourd’huiunroˆlecentralenfinancemathe´matique;ellee´taitde´ja pr´esentedanslath`esedeLouisBachelieren1900maisellen’acommence´a`eˆtre´etudi´eesyst´ematiquement parlesmathe´maticiensquevers1940,notammentparP.LevyetJ.L.Doob,etplustardparl’e´colede probabilit´esdeStrasbourg,notammentP.A.Meyer.Cen’estqu’a`lafindesanne´es70etaude´butdes anne´es80(dansuns´eriesd’articlesdeM.J.Harrison,D.M.KrepsetS.R.Pliska)quel’onacommence´ `acomprendrelesliensentrelesnotions´economiquesoufinancie`resd’absenced’oportunite´d’arbitrageet decompl´etudedumarche´etlanotionmath´ematiquedemartingale.Cesontcesliensquenouse´tudions icia`traversnotammentdeuxr´esultatsimportantsparfoisappel´eslesdeuxthe´ore`mesfondamentauxde lafinancemath´ematique.
5.1 Martingales Intuitivement,unemartingaleestunemarcheale´atoiren’ayantnitendancehaussi`erenitendance baissie`re,savaleura`chaqueinstant´etant´egalea`l’espe´rancedesesvaleursfutures.Onutilisedes marchesale´atoiresayantcettepropri´et´epourmod´eliserleprixdesactifsfinancierscarunprixdemarch´e estunnombresurlequeldeuxparties,cellequiache`teetcellequivend,tombentd’accord;sileprix avaitunetendance`alahausse,levendeurn’auraitpasaccept´elatransactionetinversements’ilavait unetendancea`labaissec’estl’acheteurquil’auraitrefuse´.Doncilestnatureldesupposerqu’unfair-pricene’naleC.elagnitaremedt´´eriopprirpeenavrpxieuelentqllemnenutraiatacsaes,rlnolte´’aal dumondequiser´ealise,ilaugmenteeffectivementoubiendiminue.Maislorsquel’onprendencompte l’ensembledes´etatsdumondepossibles,ilestraisonnabledesupposerquesavariationespe´re´eestnulle. Biensˆur,lesve´ritablesvariationsduprixquiinterviendrontdanslare´alite´,etquide´pendentdel’e´tatdu monde,serontcertainementnonnulles.D’ailleurs,c’estparcequelesdeuxpartiesn’ontpaslesmˆemes anticipationssurl’e´tatdumondequivaser´ealiserquelatransactionalieu. De´finition:Soit (Ω,T, Pnu)apseeistiotilis´efinceprobabF:= (Ftfiltration de Ω. On dit) une t∈T qu’unemarcheale´atoireM:= ( Mt)t∈[0.tuneF-martingale(mtg) siet seulement si .T]δest pour touss≤t,Ms=E(Mt|Fs).(5.1)
Observonsqu’ilre´sultedelad´efinitiondel’esp´eranceconditionnellequ’uneF-martingale est toujours unemarcheal´eatoireFtoutuq,eopru`--aider´tpada-tse’c,eet, la v.a.MtestFt-mesurable. Lapropositionsuivantedonnetroisautrescaract´erisationsdelaproprie´te´demartingale,souvent utiles,quide´coulent´egalementdespropri´et´esdel’esp´eranceconditionnelle.OnutiliselanotationEsX:= E(X|Fs). Proposition 5.1´te´usserpseirpot´onuieqanivssteaveltnseL 1.Mest une martingale. 2. Pourtouts∈T,Ms=Es(Ms+δt). 3. Pourtouts∈T,Es(δMs+δt) = 0u,o`δMs+δt:=Ms+δt−Ms. 4. Pourtouts≤tdansT,Es(Mt−Ms) = 0.
1 Voir le livre de Nicolas Bouleau,rahce´fisancneisrMartingalesetm, Editions Odile Jacob, 1998 23
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´ CHAPITRE 5.MARTINGALES, ARBITRAGE ET COMPLETUDE
Preuve :´itee´lipaorrpment2etse´evidemniartne1e´te´irproap:le”irlacuirnoc”aritnots´dmetunenfaiO 2 est vraie, on a : Es(Ms+δt−Ms) =Es(Ms+δt)−Ms=Ms−Ms= 0. D’o`ulaproprie´t´e3.Sicelle-ciestvraie,alors t−δt t−δt t−δt X XX Es(Mt−Ms) =Es( (Mτ+δt−Mτ)) =E(δMτ+δt) =Es(Eτ(δMτ+δt)) = 0. τ=s τ=s τ=s D’ou`laproprie´te´4.Onve´rifieenfinquelaproprie´t´e4implique`asontourlaproprie´te´1carMs−Es(Mt) = Es(Ms−Mt) = 0.✷ Exemples : 1. Lepremier exemple est celui de lap-marche de Wiener (Wtp)aqueourlnapalleoe´drtinfi:noi t∈T E(δWt) =p δt+ (1−p)(−δt) = (2p−1)δt. 1 Doncc’estunemartingale(parrapport`alafiltrationquiluiestassoci´ee)sietseulementsip= . 2 2.Lesecondexempleestceluidelamarcheale´atoiredeCox,RossetRubinstein(St)quieom´dlesi t∈T leprixd’unactiffinanciera`l’instanttrobaunepuverrtrouoP.´teibilp=P(St+δt/St=u) telle quesavaleuractualise´esoitunemartingale,onproce`dedelafa¸consuivante:sird´esigneletaux −rt ˜ ˜ d’escomptemone´taire,suppos´econstant,etSttualixac,is´eelrpSt:=e St, on a les relations suivantes que doit satisfairep: ˜ ˜ −r(t+δt)−r(t+δt)−rδt Et(St+δt) =eE(St+δt) =e(pStu+ (1−p)Std) =e(pu+ (1−p)d)St. ˜ rδt DoncStest uneF-martingaele pourvu quepu+ (1−p)d=ebalitie´irqseu.outrreOnobprlave neutreintroduitepoure´valuerleprixd’options: rδt e−d p=. u−d Danslemod`eleCRR,laprobabilite´risqueneutreestdoncl’uniqueprobabilit´epourlaquellela valeuractualis´eedel’actifsous-jacentestunemartingale. 3.Letroisi`emeexempleestceluid’unemartingaleferme´eparunev.a.:siΦestunev.a.surun espaceprobabilis´emunid’unefiltrationF= (Fteriotae´laehcramla,)(Xtiepa´efindr) t∈Tt∈T Xt:=E(Φ/Ftse,t)lagneD.emenuitractrun,iorcpastonu’eno,dntiuqen´eralefa¸cong´F-martingale Mtest une martingale.arape.valferm´esΦtllei’´esriecMt:=E(Φ/Ft) pour une certaine v.a. Φ. C’estunefac¸onnaturelledeconstruireunemartingaleetc’estcequenousavonsfait`atraversla ˜ fomule fondamentale pour la marcheCt. Nous avons vu en effet que r(T−t) Ct=eE(ϕ(ST)/Ft) rt rT cequis’´ecritencoree Ct=E(e ϕ(ST)/FtleindiqundamentaroumelofiAsnlifa).tuota`’uqe ˜ instanttliuactxariep,l´seCt(enneop´eneurtpoinuoe’dT , ϕ(STelagmrefpee´alra)st)emalainrt ˜ v.a.ϕ(ST).
Proposition 5.2Si(Mt)est une martingale, alorst7→E(Mt)est constant et pour toutt∈Ton t∈T aE(Mt) =E(M0). En particulier siM0nev.estuage´,etnatsnoc.arembnoauleM0, on a pour toutt, E(Mt) =M0. ˜ Decettepropositionapplique´e`alamartingale(Ct,on)uitid´edidtamme´qteumeneurlevalalade t∈T ˜ ˜ primeC0cedupayeoff’ltsenare´pseCT=ϕ(ST). Pour finir ce paragraphe, indiquons la definition de sur- et sousmartingale, utile notamment pour l’etudedesoptionsam´ericaines. 2 De´finition:On dit qu’une m.a. (Xt) estuneF-sous -martingalesi et seulement siXestFtpada-ee´ t∈T et pour touss≤t, Xs≤E(Xt| Fs).(5.2) Ond´efinitdefa¸conanaloguelesF-surmartingalesuten.m.auqeitsa`alofsin.uEsveirdueem-metn une sousmartingale est une martingale.
2 retenir que toute valeurXsde la marche est “sous” (≤elnnioitouet)dleare´pse’dnoc(ecn)lfuture(tevaleurE(Xt|Fs)).
