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Universite de NICE Master Enseignement de mathematiques

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Niveau: Supérieur, Master
Universite de NICE Master 1 Enseignement de mathematiques 2011-2012 UE5 : notes de cours sur l'integration Antoine Douai 2 mai 2012 Ce texte se compose de deux parties : les integrales generalisees et les integrales (simples) a parametres. Nous profiterons de l'occasion pour revoir les resultats classiques concernant l'integrale simple. 1 Integrales generalisees Soit K = R ou C, ?∞ < a < b ≤ +∞ et f : [a, b[? K une fonction continue. On cherche a donner un sens a l'integrale ∫ b a f(t)dt. Par exemple, comment definir ∫ +∞ a f(t)dt si f est continue sur [a,+∞[ ? 1.1 Definitions Definition 1.1 Soit K = R ou C, ?∞ < a < b ≤ +∞ et f : [a, b[? K une fonction continue. On dit que l'integrale ∫ b a f(t)dt, integrale generalisee (ou impropre) de f sur [a, b[, est convergente si la fonction F : x 7? ∫ x a f(t)dt (a ≤ x < b) a une limite ? R quand x tend vers b. Si tel est le cas, on note ∫ b a f(x)dx = .

  • classe c1 sur l'intervalle

  • series numeriques

  • criteres de convergence

  • integrales generalisees

  • bijection de classe c1 de l'intervalle ouvert

  • intervalle ouvert

  • essentiel des criteres de convergence pour les series


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Antoine Douai 2mai2012
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1Int´egralesge´n´eralis´ees SoitK=RouC,−∞< a < b+etf: [a, b[Kehcra`tnninooccneheuO.unctinefo R b donnerunsens`alinte´gralef(t)dtmentd´emple,com.aPerexrin a Z +f(t)dt a sifest continue sur [a,+[ ?
1.1D´enitions D´efinition1.1SoitK=RouC,−∞< a < b+et f: [a, b[K R b unefonctioncontinue.Onditquelint´egralef(t)dtra´es´li(oeempuirpored)e,ni´tgearel´gnefsur a [a, b[, estconvergentesi la fonction Z x F:x7→f(t)dt a (ax < b) a une limite`Rquandxtend versb. Si tel est le cas, on note Z b f(x)dx=`. a SiFimeleritansdpaquleel´edanxtend versbno,leuqtidegraint´tleesdivergente. D´eterminerlanature.etnegreviduoelsectnoevgrneetestd´ecidersielllettnierge´celadneu
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