Universite de Nice SL2M Algebre

Description

Niveau: Supérieur
Universite de Nice SL2M 2011-12 Algebre 2 Partiel : elements de correction. Exercice 1. Dans R3, muni du produit scalaire usuel, on considere les trois vecteurs ~u = (3, 0,?3), ~v = (0, 2,?2) et ~w = (1,?1, 0). On designe par E le sous-espace vectoriel engendre par la famille (~u,~v, ~w). 1.1. Est-ce que la famille (~u,~v, ~w) est libre ? Quelle est la dimension du sous-espace E ? On echelonne la matrice M := ? ? 3 0 1 0 2 ?1 ?3 ?2 0 ? ? . Les etapes successives sont les suivantes : par l'operation C3 ? C3 ? (1/3)C1 on obtient ? ? 3 0 0 0 2 ?1 ?3 ?2 1 ? ? puis par l'operation C3 ? C3 ? (1/2)C2 on obtient ? ? 3 0 0 0 2 0 3 ?2 0 ? ? . On en conclut que la famille (~u,~v, ~w) est liee, qu'une base de E est (~u,~v), que E est de donc dimension 2.

• elements de correction


• famille


• u? ?


• resultats des questions precedentes


• algorithme de gram-schmidt


• solution dans r3

Sujets

• Famille

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit ´ edeNice 2011-12

Partiel:´ele´mentsdecorrection.

SL2M Alg ` ebre2

3 Exercice 1.DansRetrusrtiovsce,umrpdoinudlacatsuielsueuirisnocno,selere`d ~u= (3,0,−3),~v= (0,2,−2) etw~= (1,−1,0). Onde´signeparEvecepscasue-elosr´epgendelentori(ellimafalra~,u~~wv,).

1.1.Est-ce que la famille (~,v~wu,~) est libre? Quelle est la dimension du sous-espaceE? On´echelonnelamatrice   3 0 1   M 2:= 0−1 . −3−2 0 Les´etapessuccessivessontlessuivantes:parl’op´erationC 3 ←C 3 −(1/3)C 1 on obtient   3 0 0   0 2−1 −3−2 1 puisparl’ope´rationC 3 ←C 3 −(1/2)C 2 on obtient   3 00   0 20 . 3−2 0 On en conclut que la famille (u~w~~,,ve,´elistbane’uquedese)Eest (v~,u~), queEest de donc dimension 2. 1.2.igespanernO´dFl’paesedeclossoituudsnaeriil´ne`emystse 3x 1 +x 3 = 0 2x 2 −x 3 = 0 −3x 1 −2x 2 = 0. ´ Enoncerunth´eor`emequirelieladimensiondeEet la dimension deFete´nimrD.ionsnlaermedi deFet en donner une base. Lamatricedusyst`emeestlamatriceMiuseq,na2gdtreagnaemrffileuqaet.Leoh´emr`ured dimension de l’espaceFdseosulitnodssuecirtamedeme`tsyMmbnoaulega´estesbaelavirered diminue´durangdelamatriceM, autrement dit dimF= 3−dimE. L’espaceFest une droite vectorielle. Une base deFestlanotsti´uafimllceesesctvepaeendrusrue non nul, par exemple (−2,3,6). 1.3.aprgien´dsenOGrteoacsp-eussolea`lanogohF. Quelle est la dimension deG?D´eterminer une base deG. Unedescons´equencesdeGram-SchmidtestdimG= 3−dimF. L’espaceGest de dimension 2. Un vecteur est dansGohtranogli’sotseleeuntmestsiel`a(−2,3,6). L’espaceGest l’ensemble dessolutionsdel’e´quation−2x 1 + 3x 2 + 6x 3 = 0. Une base en est ((3,2,0),(3,0,1)).

2 1.4.ndOraepgnsi´eAla matrice suivante   0 0 1   0−1−1 . −3−2−3 Est-ce que−3 est valeur propre de la matriceAe´icossaerSi?reimenlruo,i´dtepacepropesous-es a`−3. −3 est valeur propre de la matriceAsi et seulement si la matriceA−(−3)I 3 n’est pas de rang maximum. On constate queA+ 3I 3 ´tsea`elageMqui est de rang 2. Donc−3 est valeur propre deAecirtamedeme`tsdusyionsolutdessbmelneests’l´ieecapsorpeaerpcoss.Dluep’eslM. C’est l’espaceF. 4 Exercice 2.DansRsursvleteecidnsre`e,leuocnoialasuerroduitsc,munidup ~u= (1,1,1,1),v~= (3,1,1,3) etw~= (5,0,2,3). On noteEossuelcaeee-psenng´edrrlpaamafelli ⊥ (,u~~,v~w) etEl’orthogonal deE. 4 Ond´esignepar(e~ 1 e~, 2 e~, 3 e~, 4 ) labase canoniquedeR(par exemple,~e 3 est le vecteur (0,0,1,0)). ⊥ 2.1.La famille (~vu,w,,~e~~ 3 ) est-elle libre? Quelle est la dimension deE? deE? En´echelonnantlamatricedontlesvecteurscolonnessont(e~w,~,~v,~u 3 ), on constate que la famille (w,,~~vu,~e~ 3 iov(erbiltse)ion1.1pourlesd´eerexcrci1eq,euts.n)liatredsade´oitc Une sous-famille d’une famille libre est libre. La famille (u~w~,v~,) est donc une base deEqui est ⊥ de dimension 3. L’orthogonalEest de dimension 4−dimEsoit 1. 2.2.orlg’aelqulippnamhcS-marGedemhtile(amilalafidt`O~e~~,,w,uv~ 3 use´tatlutseafenllmiel:re) ~ (t~ur,,~,~s). Que peut-on dire ~ (1) dela famille (s~,r~,u~t,) ? 4 C’est une famille orthogonale qui est donc une base orthogonale deR. (2) dusous-espace Vect(~,us,~~r) ? D’apr`esGram-Schmidt,lafamilledesvecteurs(s~,ur~~,)neegdneuqealeeemacspntremˆle famille (w~~u,~,v). On a donc Vect(~u,~r,~s) =E. ~ (3) dusous-espace Vect(t) ? 4 ~ Comme la famille (,tu~~,,rs~) est une base orthogonale deRet Vect(,~~u~sr,) une base or- ⊥ ~ thogonale deE, le vecteurtengendre l’orthogonalE. Justifierlesr´eponsesdonn´ees. ~ 2.3.Expliciter l’algorithme et calculer les vecteurs,s~,r~t. L’algorithmedeGram-Schmidt,appliqu´e`alafamille(,w~,e~u,~v~ 3 tn:)uof,tinrr´leuleststavaui ((1,1,1,1),(1,−1,−1,1),(1,−1,1,−1),(1/4)(−1,−1,1,1)). On note que la famille ((1,1,1,1),(1,−1,−1,1),(1,−1,1,−1),(−1,−1,1,nutnemele1)´ega)est 4 base orthogonale deR. 2.4.d`erelevOnconsiceetru~x= (3,5,7,−mierrlne).3etD´onoiohtrorpatcejledegona~xsurEet ⊥ surE. Puisque (u~~sr,,~) est une base orthogonale deE, la projection orthogonale de~xsurEtsodnne´ee par la formule suivante h~x|~ui h~x|r~i h~x|s~i ⊥ pr (~x) =~u+~r+~s. E 2 22 k~uk kr~k ks~k

3

Le calcul donne (2,4,8,−2). ⊥ ´ Mˆemequestionpourlesprojectionsorthogonalesdesvecteurse~ 1 e~, 2 e,~ 3 e,~ 4 surEet surE. Ecrire la matrice de la projection orthogonale surEdans la base canonique. Demanie`reanalogue,oncalculelesprojectionsrespectivesdesvecteurs~e 1 ,~e 2 ,~e 3 ~,e 4 surE. La matrice de la projection orthogonale surEdans la base canonique estla matrice dont les vecteurs colonnes sont les projections orthogonales surEdes vecteurs~e 1 ,~e 2 ,~e 3 ,~e 4 ex- prime´esdanscettemˆemebasecanonique. On trouve :   3−1 1 1 1 −1 3 1 1   P:=   4 11 3−1 1 1−1 3

2.5.viuseme`tsyseler`eidnscoOn(tnaqe´4itau`snoina3nncos(uea, b, c)) :  a+ 3b+ 5c= 3   a+b= 5 (S) a+b+ 2c= 7   a+ 3b+ 3c=−3 3 Lesyst`emeSa-t-il des solutions dansR? On a vu que le vecteur~xiondansıno¨deciecnorpatcejasapscevE.Iln’appnopcsaa`raitnedtE. 3 Lesyst`emeSn’a donc pas de solution dansR. 2.6.Qu’appelle-t-onr´eslmonituooisencsradnerdusymest`eS? Unesolutionenmoindrescarre´srendminimalelafonctionsuivante 3 f:R−→R 2 (a, b, c)k→−7u~a+vb~+cw~−~xk 3 de´finiesurR. 2.7.e´uselrsastnitilEnud,setnede´ce´rpsontiesquessdatltnoneomnielosuliterunetel´eterminesdr carr´es. La projection orthogonale de~xsur l’espaceElielfama(enngerlpa´edrwv~~,~,umumi´eal),reminisel de la fonction g:E−→R 2 ~v→k7−~v−~xk de´finiesurE. ⊥ Ilrestedonc`aexprimerlaprojectionorthogonalepr(~xinaicombomme)ced(iaernie´osln~~vu,w,~). E Onade´ja`vua`laquestion2.4que h~x|~ui h~x|r~i h~x|~si ⊥ pr (~x) =~u+r~+~s= 3~u−3r~+ 2.s~ E 2 22 k~uk kr~k k~sk On utilise ensuite les calculs faits pour l’algorithme de Gram-Schmidt :r~=v~−2~uets~= ~w−(5/2)~u−(3/2)~r=~w−(3/2)v~+ (1/2)~upour trouver ⊥ pr (~x) = 3~u−3(~v−2~u) + 2(w~−(3/2)~v+ (1/2)~u) = 10~u−6~v+ 2.w~ E Lasolutionenmoindrescarre´sdusyst`eme(S)estdonc(10,−6,2).