Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 10-11 semestre 1 3 Systemes lineaires On designera par K l'ensemble Q des nombres rationels, l'ensemble R des nombres reels, l'ensemble C des nombres complexes ou plus generalement un corps quelconque. 3.1 Definitions Equation lineaire a n variables : Soit a1, a2, . . . , an ? K , b ? K : (E) a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b est appelee equation lineaire a n variables. Les x1, x2, . . . , xn sont appeles variables, l'element ai est appele le coefficient de la variable xi, l'element b est appele constante ou second membre de l'equation (E). Si b = 0, on dit que l'equation (E) est homogene ou sans second membre. Solution d'une equation lineaire a n variables : La donnee (s1, s2, . . . , sn) de n elements de K est appelee solution de l'equation (E) si : a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b Cas particuliers : Si a1 = . . . = an = b = 0 toutes donnees (s1, s2, . . . , sn) de n elements de K est solution de E. Si a1 = . . . = an = 0 et b 6= 0, l'equation (E) n'a pas de solutions.

• droite passant par l'origine de direction


• passant par le point


• equations


• combinaison lineaire des elements u1


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• solutions de l'equation lineaire

Sujets

• Équation

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Extrait

Universit ´ edeNiceSophia-Antipolis 10-11

L1-MPAlg ´ ebre semestre 1

3Syst`emeslin´eaires On designera par K l’ensemble Q des nombres rationels, l’ensemble R desnombresr´eels,l’ensemble C des ´ nombrescomplexesouplusg´ene´ralementuncorpsquelconque.

3.1De´finitions ´ Equationlin´eaire`anvariables: Soit a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ K , b ∈ K : ( E ) a 1 x 1 + a 2 x 2 + ∙ ∙ ∙ + a n x n = b estappele´e´equationline´airea`nvariables.Les x 1 , x 2 , . . . , x n sontappel´esvariables,l’e´le´ment a i estappel´ele coefficient de la variable x i ,l’´ele´ment b estappele´constanteousecondmembredel’e´quation( E ).

Si b =0,onditquel’´equation( E )esthomog`eneousanssecondmembre.

Solutiond’une´equationlin´eaire`a n variables : Ladonn´ee( s 1 , s 2 , . . . , s n )dene´le´mentsde K est appel´eesolutiondel’´equation( E ) si :

a 1 s 1 + a 2 s 2 + ∙ ∙ ∙ + a n s n = b Cas particuliers : Si a 1 = . . . = a n = b =0toutesdonne´es( s 1 , s 2 , . . . , s n ) de n e´lementsde K est solution de E . Si a 1 = . . . = a n = 0 et b 6 =0,l’e´quation( E ) n’a pas de solutions.

Syste`mede m e´quationslin´eaires`a n variables :  a a 2 1 , , 1 1 x x 1 1 + + a a 2 1 , , 2 2 x x 2 2 + + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + + a a 2 1 , , n n x x n n = = b b 2 1 ( ( E E 2 1 ) )   a m, 1 x 1 + a m, 2 x 2 + ∙ ∙ ∙ + a m,n x n = b m ( E m ) .

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Solutiond’unsyst`emede m e´quationsline´aires`a n variables : C’estladonn´ee( s 1 , s 2 , . . . , s n ) de n ´el´ementsde K solutiondechacunedes´equationsdusyt` s eme.

Exemple : Conside´ronslesyste`mea`coefficientsrationnelsde2´equationsline´airesdevariables x, y, z : " x + y + z = = − 0 1( E ( 2 E ) 1 ) . 2 x + 2 y + z Le triplet ( − 2 , 1 , 1)estsolutiondecesyste`me.

3.2Transformationd’unsyste`mesanschangerlessolutions Consid´eronslesdeux´equationslin´eaires`a n variables : " a a 0 1 1 x x 1 1 + + a a 0 2 2 x x 2 2 + + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + + a a 0 n n x x n n = = b b 0 ( E ( 0 E ) ) . Onappelle´equationobtenueenmultipliant( E ) par λ ∈ K et on note ( λE )l’´equation: ( λE ) λa 1 x 1 + λa 2 x 2 + ∙ ∙ ∙ + λa n x n = λb . Onappelleequationobtenueensoustrayantl’´equation( E )a`l’e´quation( E ) 0 et on note ( E − E 0 )l’´equation: ´ ( E − E 0 ) ( a 1 − a 0 1 ) x 1 + a 2 x 2 + ∙ ∙ ∙ + λ ( a n − a 0 n ) x n = b 0 − b . On remarquera que pour tout λ ∈ K ;lesyste´meform´edes2e´quations( E ) et ( E 0 )ameˆmessolutionsque lesyste`meform´eparles2e´quations( E ) et ( E 0 − λE ) Proposition 3.2.1 Lesope´rationssuivantesnechangentpaslessolutionsd’unsyst`emelin´eaire: 1.Permuterdeux´equations, 2.Multiplierunee´quationparun´el´ementnonnulde K ,

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3.Soustraired’une´equationleproduitd’uneautreparune´l´ementde K , 4.Supprimerouajouterl’e´quation: 0 x 1 + 0 x 2 + ∙ ∙ ∙ + 0 x n = 0 . Exemple : Lesdeuxsyste`messuivantsontmeˆmessolutions: " 2 x x + − y y + + z z = = 3 4 ( ( E E 1 2 ) ) et " x + y + z = 3 ( E 1 ) − 3 y − z = − 2 ( E 2 − 2 E 1 ) .

3.3Solutionsd’unsyst`emed’´equationsline´aires,exemples Notation 3.3.1 On note K n l’ensembledontles´el´ementssontladonn´eede ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) dene´lemenents de K .Une´le´mentde K n estappel´eun n -upletd’e´l´ementsde K . Op´erationssur K n : Soit ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) , ( s 0 1 , s 0 2 , . . . , s 0 n ) ∈ K n et λ ∈ K .

addition : ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) + ( s 0 1 , s 0 2 , . . . , s 0 n ) = ( s 1 + s 0 1 , s 2 + s 0 2 , . . . , s n + s 0 n ) , multiplication par λ ∈ K : λ ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) = ( λs 1 , λs 2 , . . . , λs n ) . K n , muni de l’addition, est un groupe commutatif de neutre (0 , 0 , . . . , 0)note´0.Autrementdit,lespro- prie´t´essuivantessontve´rifie´es: ∀ u, v, w ∈ K n : ( u + v ) + w = u + ( v + w )not´e u + v + w ∀ u ∈ K n : u + 0 = 0 + u = u ∀ u = ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) ∈ K n : u + ( − u ) = ( − u ) + u =0o´u − u = ( − s 1 , − s 2 , . . . , − s n ) ∀ u, v ∈ K n : u + v = v + u Lamultiplicati´el´mentde K v´erifie: on par un e ∀ u ∈ K n ; ∀ λ , µ ∈ K : λ ( µu ) = ( λµ ) u et 1 u = u . Ces lois sont compatibles au sens suivant : ∀ λ, µ ∈ K , ∀ u, v ∈ K n : ( λ + µ ) u = λu + µu et λ ( u + v ) = λu + vv . On notera que pour tout u ∈ K n : 0 u = 0 et ( − 1) u = − u .

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r De´finition3.3.2 (combinaisonlin´eaired’e´l´ementsde K n ) Soit u 1 , u 2 , . . . , u r ∈ K r et λ 1 , λ 2 , . . . , λ r ∈ K . L’´ele´ment λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ∙ ∙ ∙ + λ r u r estappele´unecombinaisonlin´eairedes´ele´ments u 1 , u 2 , . . . , u r . Cas particulier, r = 1: Pour u ∈ K n et λ ∈ K , λu estappele´multiplede u .

Exemple 1 : Nous prenons K = R .Expliciterlessolutionsdel’´equationline´airea`deuxvariables: ( E ) 3 x + 5 y = 3 . Lecoupleder´eels( x, y ) est une solution de ( E ) si et seulement si : 3 x = 3 − 5 y ou encore x = 1 − 5 3 y . Ainsi, toute solution ( x, y ) de ( E )estde´termine´eparlaseulevaleurde y . Si S d´esignel’ensembledessolutions de ( E ), on a donc : S = { (1 − 3 5 y, y ) tels que y ∈ R } ⊂ R 2 . Or,onv´erifieque(1 − 5 3 y, y ) = (1 , 0) + y ( − 3 5 , 1). Ainsi : 5 S = { (1 , 0) + y ( − 1) tels que y ∈ R . } 3 , En prenant en particulier y = 0 , on obtient que (1 , 0) ∈ S (cequel’onpeutv´erifierfacilement).Onnote que l’ensemble S est ainsi l’ensemble des sommes de (1 , 0) avec les multiples de ( − 5 3 , 1). ~ Conside´rons P unplang´eome`triquemunid’unrepere(0 ,i, ~ j ). L’application : ` R 2 −→P , ( x, y ) 7−→ le point M decoordonn´ees( x, y ) identifie R 2 et P .Lessolutionsdel’e´quation( E )s’identifientalorsa`ladroitede P passant par le point A decoordonn´ees(1 , 0)etdedirectionlevecteurdecoordonne´es( − 3 5 , 1).

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Plusge´ne´ralement,soit a, b ∈ K nonsimultane´mentnuls, c ∈ K . Nous allons exprimer les solutions de l’e´quation ax + by = c commesommed’unesolutionparticuli`ereetdesmultiplesd’uncouple( α, β ) ∈ K 2 . Pour K = R ,cessolutionss’identifient`aunedroite D . Nous distingons quatre cas : 1) cas particulier , b= 0 : S= { ( a c ,y ) y ∈ K } = { ( c a , 0) + y (0 , 1) y ∈ K } . ax = c Pour K = R , S s’identifiea`ladroiteverticalepassantparlepoint( c a , 0). 2) cas particulier , a= 0 : S= { ( x, b c ) ; x ∈ K } = { (0 , b c ) + x (1 , 0) ; x ∈ K } . by = c Pour K = R , S s’identifiea`ladroitehorizontalepassantparlepoint(0 , b c ). 3) cas particulier , c= 0 : S= { λ ( − b, a ) ; λ ∈ K } . ax + by = 0 Pour K = R , S s’identifie`aladroitepassantparl’originededirectionlevecteurdecoordonn´ees( − b, a ). 4) cas particulier , a 6 = 0 , b 6 = 0 , c 6 = 0 : S= { ( c a , 0) + y ( − a b , 1) ; y ∈ K } = { ( c , 0) + λ ( − b, a ) ; λ ∈ K } . a ax + by = c Pour K = R , S s’identifie`aunedroitepassantparlesdeuxpointsdecoordonne´es( a c , 0) et (0 , b c ). Exemple 2 : Nous prenons K = R .Expliciterlessolutionsdel’e´quationline´airea`troisvariables: 1 ( E ) x + 2 y + 1 3 z = 1 . Letripletdere´els( x, y, z ) est une solution de ( E ) si et seulement si : 1 1 x = 1 − 2 y − 3 z .

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