Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre
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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 10-11 semestre 1 3 Systemes lineaires On designera par K l'ensemble Q des nombres rationels, l'ensemble R des nombres reels, l'ensemble C des nombres complexes ou plus generalement un corps quelconque. 3.1 Definitions Equation lineaire a n variables : Soit a1, a2, . . . , an ? K , b ? K : (E) a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b est appelee equation lineaire a n variables. Les x1, x2, . . . , xn sont appeles variables, l'element ai est appele le coefficient de la variable xi, l'element b est appele constante ou second membre de l'equation (E). Si b = 0, on dit que l'equation (E) est homogene ou sans second membre. Solution d'une equation lineaire a n variables : La donnee (s1, s2, . . . , sn) de n elements de K est appelee solution de l'equation (E) si : a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b Cas particuliers : Si a1 = . . . = an = b = 0 toutes donnees (s1, s2, . . . , sn) de n elements de K est solution de E. Si a1 = . . . = an = 0 et b 6= 0, l'equation (E) n'a pas de solutions.

  • droite passant par l'origine de direction

  • passant par le point

  • equations

  • combinaison lineaire des elements u1

  • universite de nice - sophia-antipolis

  • solutions de l'equation lineaire


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Langue Français

Exrait

Universit´edeNiceSophia-Antipolis 10-11
L1-MPAlg´ebre semestre 1
3Syst`emeslin´eaires On designera par K l’ensemble Q des nombres rationels, l’ensemble R desnombresr´eels,lensemble C des ´ nombrescomplexesouplusg´ene´ralementuncorpsquelconque.
3.1De´nitions ´ Equationlin´eaire`anvariables: Soit a 1 , a 2 , . . . , a n K , b K : ( E ) a 1 x 1 + a 2 x 2 + ∙ ∙ ∙ + a n x n = b estappele´e´equationline´airea`nvariables.Les x 1 , x 2 , . . . , x n sontappel´esvariables,le´le´ment a i estappel´ele coefficient de la variable x i ,l´ele´ment b estappele´constanteousecondmembredele´quation( E ).
Si b =0,onditquel´equation( E )esthomog`eneousanssecondmembre.
Solutiondune´equationlin´eaire`a n variables : Ladonn´ee( s 1 , s 2 , . . . , s n )dene´le´mentsde K est appel´eesolutiondel´equation( E ) si :
a 1 s 1 + a 2 s 2 + ∙ ∙ ∙ + a n s n = b Cas particuliers : Si a 1 = . . . = a n = b =0toutesdonne´es( s 1 , s 2 , . . . , s n ) de n e´lementsde K est solution de E . Si a 1 = . . . = a n = 0 et b 6 =0,le´quation( E ) n’a pas de solutions.
Syste`mede m e´quationslin´eaires`a n variables : aa 21 ,, 11 xx 11 ++ aa 21 ,, 22 xx 22 ++ ++ aa 21 ,,nn xx nn == bb 21 (( EE 21 )) a m, 1 x 1 + a m, 2 x 2 + ∙ ∙ ∙ + a m,n x n = b m ( E m ) .
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Solutiondunsyst`emede m e´quationsline´aires`a n variables : Cestladonn´ee( s 1 , s 2 , . . . , s n ) de n ´el´ementsde K solutiondechacunedes´equationsdusyt` s eme.
Exemple : Conside´ronslesyste`mea`coecientsrationnelsde2´equationsline´airesdevariables x, y, z : " x + y + z == 01( E ( 2 E ) 1 ) . 2 x + 2 y + z Le triplet ( 2 , 1 , 1)estsolutiondecesyste`me.
3.2Transformationdunsyste`mesanschangerlessolutions Consid´eronslesdeux´equationslin´eaires`a n variables : " aa 0 11 xx 11 ++ aa 0 22 xx 22 ++ ++ aa 0 nn xx nn == bb 0 ( E ( 0 E )) . Onappelle´equationobtenueenmultipliant( E ) par λ K et on note ( λE )l´equation: ( λE ) λa 1 x 1 + λa 2 x 2 + ∙ ∙ ∙ + λa n x n = λb . Onappelleequationobtenueensoustrayantl´equation( E )a`le´quation( E ) 0 et on note ( E E 0 )l´equation: ´ ( E E 0 ) ( a 1 a 0 1 ) x 1 + a 2 x 2 + ∙ ∙ ∙ + λ ( a n a 0 n ) x n = b 0 b . On remarquera que pour tout λ K ;lesyste´meform´edes2e´quations( E ) et ( E 0 )ameˆmessolutionsque lesyste`meform´eparles2e´quations( E ) et ( E 0 λE ) Proposition 3.2.1 Lesope´rationssuivantesnechangentpaslessolutionsdunsyst`emelin´eaire: 1.Permuterdeux´equations, 2.Multiplierunee´quationparun´el´ementnonnulde K ,
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3.Soustrairedune´equationleproduitduneautreparune´l´ementde K , 4.Supprimerouajouterle´quation: 0 x 1 + 0 x 2 + ∙ ∙ ∙ + 0 x n = 0 . Exemple : Lesdeuxsyste`messuivantsontmeˆmessolutions: " 2 xx + yy ++ zz ==34(( EE 12 ))et " x + y + z = 3 ( E 1 ) 3 y z = 2 ( E 2 2 E 1 ) .
3.3Solutionsdunsyst`emed´equationsline´aires,exemples Notation 3.3.1 On note K n lensembledontles´el´ementssontladonn´eede ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) dene´lemenents de K .Une´le´mentde K n estappel´eun n -upletde´l´ementsde K . Op´erationssur K n : Soit ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) , ( s 0 1 , s 0 2 , . . . , s 0 n ) K n et λ K .
addition : ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) + ( s 0 1 , s 0 2 , . . . , s 0 n ) = ( s 1 + s 0 1 , s 2 + s 0 2 , . . . , s n + s 0 n ) , multiplication par λ K : λ ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) = ( λs 1 , λs 2 , . . . , λs n ) . K n , muni de l’addition, est un groupe commutatif de neutre (0 , 0 , . . . , 0)note´0.Autrementdit,lespro-prie´t´essuivantessontve´rie´es: u, v, w K n : ( u + v ) + w = u + ( v + w )not´e u + v + w u K n : u + 0 = 0 + u = u u = ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) K n : u + ( u ) = ( u ) + u =0o´u u = ( s 1 , s 2 , . . . , s n ) u, v K n : u + v = v + u Lamultiplicati´el´mentde K v´erie: on par un e u K n ; λ , µ K : λ ( µu ) = ( λµ ) u et 1 u = u . Ces lois sont compatibles au sens suivant : λ, µ K , u, v K n : ( λ + µ ) u = λu + µu et λ ( u + v ) = λu + vv . On notera que pour tout u K n : 0 u = 0 et ( 1) u = u .
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r De´nition3.3.2 (combinaisonlin´eairede´l´ementsde K n ) Soit u 1 , u 2 , . . . , u r K r et λ 1 , λ 2 , . . . , λ r K . L´ele´ment λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ∙ ∙ ∙ + λ r u r estappele´unecombinaisonlin´eairedes´ele´ments u 1 , u 2 , . . . , u r . Cas particulier, r = 1: Pour u K n et λ K , λu estappele´multiplede u .
Exemple 1 : Nous prenons K = R .Expliciterlessolutionsdel´equationline´airea`deuxvariables: ( E ) 3 x + 5 y = 3 . Lecoupleder´eels( x, y ) est une solution de ( E ) si et seulement si : 3 x = 3 5 y ou encore x = 1 53 y . Ainsi, toute solution ( x, y ) de ( E )estde´termine´eparlaseulevaleurde y . Si S d´esignelensembledessolutions de ( E ), on a donc : S = { (1 35 y, y ) tels que y R } ⊂ R 2 . Or,onv´erieque(1 53 y, y ) = (1 , 0) + y ( 35 , 1). Ainsi : 5 S = { (1 , 0) + y ( 1) tels que y R . } 3 , En prenant en particulier y = 0 , on obtient que (1 , 0) S (cequelonpeutv´erierfacilement).Onnote que l’ensemble S est ainsi l’ensemble des sommes de (1 , 0) avec les multiples de ( 53 , 1). ~ Conside´rons P unplang´eome`triquemunidunrepere(0 ,i,~j ). L’application : ` R 2 P , ( x, y ) 7le point M decoordonn´ees( x, y ) identifie R 2 et P .Lessolutionsdele´quation( E )sidentientalorsa`ladroitede P passant par le point A decoordonn´ees(1 , 0)etdedirectionlevecteurdecoordonne´es( 35 , 1).
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Plusge´ne´ralement,soit a, b K nonsimultane´mentnuls, c K . Nous allons exprimer les solutions de le´quation ax + by = c commesommedunesolutionparticuli`ereetdesmultiplesduncouple( α, β ) K 2 . Pour K = R ,cessolutionssidentient`aunedroite D . Nous distingons quatre cas : 1) cas particulier , b= 0 : S= { ( ac,y ) y K } = { ( ca, 0) + y (0 , 1) y K } . ax = c Pour K = R , S sidentiea`ladroiteverticalepassantparlepoint( ca, 0). 2) cas particulier , a= 0 : S= { ( x,bc ) ; x K } = { (0 ,bc ) + x (1 , 0) ; x K } . by = c Pour K = R , S sidentiea`ladroitehorizontalepassantparlepoint(0 ,bc ). 3) cas particulier , c= 0 : S= { λ ( b, a ) ; λ K } . ax + by = 0 Pour K = R , S sidentie`aladroitepassantparloriginededirectionlevecteurdecoordonn´ees( b, a ). 4) cas particulier , a 6 = 0 , b 6 = 0 , c 6 = 0 : S= { ( ca, 0) + y ( ab, 1) ; y K } = { ( c, 0) + λ ( b, a ) ; λ K } . a ax + by = c Pour K = R , S sidentie`aunedroitepassantparlesdeuxpointsdecoordonne´es( ac, 0) et (0 ,bc ). Exemple 2 : Nous prenons K = R .Expliciterlessolutionsdele´quationline´airea`troisvariables: 1 ( E ) x +2 y +13 z = 1 . Letripletdere´els( x, y, z ) est une solution de ( E ) si et seulement si : 1 1 x = 1 2 y 3 z .
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