La lecture en ligne est gratuite
Télécharger
Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
SV1,ann´ee2010-2011 Math´ematiquespourlaBiologie(semestre2)
Cours5:Etudedes´equilibresdunsyste`medi´erentiel
L´etudequalitativedunsyste`medi´erentiel(isoclines,´equilibres,`eches)nepermetpastoujoursa` elleseuledede´duirelecomportementdetouteslestrajectoiresdusyst`eme.Parfoisilestne´cessairede comple´terl´etude.Onpeutlefaireparexempleenrecherchantuneloideconservationcommenouslavons vupourlesyst`emedeLotka-Volterra,oubienencoreen´etudiantpluspre´cise´mentlecomportementdu syst`emeauvoisinagedechaque´equilibre.Cestcequenousallonsapprendre`afairedanscettelec¸on.
1Lin´earise´dunsyst`emedie´rentiel: ∗ ∗ Supposons que (x ,ysysuderbiliuqe´nientre´eiedemt`loitu)s 0 x=f(x, y) (1) 0 y=g(x, y) cest-`a-direunze´rocommundefetg. Soitε >gemec0huanntdeE.erte`elreutcepeesr`ntamartpti ∗ ∗ xx− ∗ variablesX:= ,Y=reenv:iat`rage`redlalaepuorqeiuilrb(eauvoisinagedel´yx ,). En effet, ε ε ∗ ∗ lorsquexxetyyr`ttonsredeodrd,leitstseepε,XetYntalsoesblr´ppiaecednaasrudsrorgse et donc les dessins obtenus dans le plan (X, Ypondent`)corresedopnistlaiameg(x, ypresheocedsr`)t le´quilibre.Apre`scalculs,onconstatequelesyt`emeobtenusouslaloupepeutse´criresouslaforme 0 X=aX+bY+o1(ε) (2) 0 Y=cX+dY+o2(ε) ou`o1(ε) eto2(ε) sont des expressions qui contiennentεen facteur et qui donc tendent vers 0 avecε. Si lonn´egligecesdeuxtermes,lesyst`emedi´erentieldevientlin´eaire(celasigniequequandonregarde `alaloupeunsyste`medie´rentielauvoisinagedundeses´equilibres,onvoitunsyst`emedi´erentiel pratiquementline´aire),cest-`a-direquilpeutse´criresouslaforme     0 X ab X = 0 Y cd Y   a b La matriceA= s’appellelamatrice jacobienneial,leno`emeinittsysudbmertr(A) :=a+d c d s’appelle latracede la matrice et le nombredet(A) :=adbcson´etedantrmin. On peut calculer facilement ∗ ∗ cette matriceAselled`paraitdrsed´eriv´eespartiefetgaclucles´epoautdineq´e(brliuix ,y). En effet on a  ! ∂f∗ ∗∂f∗ ∗ (yx ,) (yx ,) ∗ ∗∂x ∂y A=A(yx ,) = ∂g∗ ∗∂g∗ ∗ (x ,y) (x ,y) ∂x ∂y Exemple :emedoLktelystse`,prenonsexempleitAdert:uosrdurslo´ercieemprretloV-aidute´ar 0 x= 0.8x0.4xy (3) 0 y=0.6y+ 0.2xy ∗ ∗ quiapoure´quilibrelepoint(x;= 3y= 2). On peut calculer la matrice jacobienneAitdrse`apar d´erive´espartiellesdef(x, y) = 0.8x0.4xyet deg(x, y) =0.6y+ 0.2xy. On trouve :   0.80.4y0.4x A(x, y) = 0.2y0.6 + 0.2x   01,2 ∗ ∗ qui,e´value´eaupointd´equilibre(x= 3;y= 2) donne la matriceA= .Cette matrice 0,4 0 aunetracenulleetunde´terminante´gal`a0.48.
1
2Naturedes´equilibres:noeud,col,foyer,centre Lese´quilibresdunedynamiquesontleplussouventdelundesmode`lesrepre´sente´ssurlagureci dessous.Ilestfaciledesavoirdansquellecasdegureonsetrouve`apartirdelaseuleconnaissancede Aelletdecemencis´tie´autnueqxeddsse´rpsulptetr(A) etdet(A.Ilyco)ttegurese´uecruiemmqidn aprincipalement4typesde´quilibres(etquelquese´quilibresd´ege´ne´re´ssansgrandint´ereˆt),lesnoeuds, lescols,lesfoyersetlescentres.Lesnoeudsetlesfoyerssedivisenteux-mˆemeendeuxcat´egoriesselon quilssontstablesouinstables.Letypedel´equilibresappellesanature. La connaissance de la nature des´equilibresdunedynamiqueapportesouventdesrenseignementpr´ecieuxsurlecomportementdes trajectoires de cette dynamique. 1.Sile´quilibreestuncentre(tr(A) = 0 etdet(A)>lecaspourlesyst`0,)ecuqeitstoLedeme-ak Volterra,lesdeuxpopulationsoscillentdefac¸onp´eriodiqueautourdel´equilibre. 2 tr(A) 2.Sile´quilibreestunfoyer(tr(A)6= 0 etdet(A)>), les deux populations oscillent encore mais 4 enserapprochantouense´loignantdel´equilibreselonquilsagissedunfoyer stable(ouattractif) (tr(A)<0) ou d’unfoyer instable(ouiflsrupe´) (tr(A)>0). 2 tr(A) 3.Sil´equilibreestunnoeud(0< det(A)<), les deux populations tendent, sans osciller cette 4 fois,versl´equilibre(casstableouattractif,tr(A)<ca´eensegt´enrtneibuo)0-nestlamecslinaos lation (casinstableoue´rslupfi,tr(A)>0). 4.Enn,sil´equilibreestuncol(det(A)<rehcorpparestnelmbsensioutolsslesiremailib´equdel0), ellesl´evitentetnalementsene´loignent.Danslecasduncol,ilya4trajectoiresparticulie`res appel´eescudsloaratrices´epeliostsuqruutese(ilenuvr`ttrufsuoojaptsamsierpotrace)deacil menera`bienl´etudequalitative. Onavud´ej`adesexemplesdesyst`emesdie´rentielsmode´lisantdeuxesp`ecesencomp´etitiondutype 0 x= (α1β1xγ1y)x (4) 0 y= (α2β2xγ2y)y o`ulesconstantesα1,α2,β1,β2,γ1, etγ2.Une´etuositivesop´seepssnostpusme`estsyescedevitatilauqed montrequilya,enplusdesdeuxaxesdecoordonn´ees,deuxisoclines,horizontaleetverticalerespec-tivement, qui sont des droitesD1etD2dxordsueocdntisespeconredecetivedaL.itisopsirteqaauiu`t casdegure.Danslepremierquadrant,ilyatroise´quilibressitue´ssurlesaxesdecoordonn´ees: α1α2 O= (0,0),A= (,0),B= (0,) β1β2 etdanscertainscasdegureunquatri`emee´quilibreCondesdeuxdroitestusinila`e´itcesretD1etD2. Sur les quatres dessins ci dessous, on observe selon les valeurs des constantesα1,α2,β1,β2,γ1, etγ2, soitlextinctiondeluneoudelautredesdeuxesp`eces,soitleurcohabitationenun´equilibrequiestun noeudstable,soitenn,lorsquecet´equilibreestuncol,lextinctiondelespe`cequiaude´partposs`edele plusgrandeectif(saufdanslescasextreˆmementimprobablesou`leseectifsdesdeuxesp`ecesseraient exactementlesmˆemesaud´epart).Lesquatresdessinscorrespondentrespectivementauxchoixsuivant des constantes : 0 x= (1x/2y/3)x (5) 0 y= (1xy/2)y 0 x= (1x/2y)x (6) 0 y= (1x/3y/2)y 0 x= (2x2y/3)x (7) 0 y= (22x/3y)y 0 x= (1x2y)x (8) 0 y= (12xy)y Atitredexemple,v´erionsquedanslecasou`lasecondeespe`cey(tsiapd)(tysarıˆme5)st`eequi,l´brlie B= (0,iotiquedpacit´ebe`emse`pledaueix2)ui(qa`dnacalrrocopsedeceenbsanleeectse)ere`imerpal uncolalorsquel´equilibreA= (2,0) est un noeud stable. Pour cela, on calcule la matriceApour le point 2 1 Binant.Ontrouvearecteosdne´etmratssui,ptr(A) =etdet(A) =, ce qui assure qu’il s’agit bien 3 3 d’un col. Au contraire, pour le pointA, on trouvetr(A) =2 etdet(A) = 1, ce qui assure qu’il s’agit biendunnoeudstable.Ilenre´sulteque,quelquesoientleseectifsinitiauxdesdeuxespe`ces(suppos´es strictementpositifs),ilse´voluerontense´loignantnalementdel´equilibreBet en se rapprochant de
2