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Universite Joseph Fourier Cours MAT403 Master Mathematiques Informatique Annee

De
3 pages
Niveau: Supérieur, Master
Universite Joseph Fourier Cours MAT403 Master Mathematiques, Informatique Annee 2005–2006 Examen du 5 septembre 2006 Duree de l'epreuve : 3 heures Les notes du cours et des travaux diriges sont autorisees, a l'exclusion de tout autre do- cument. L'exercice et le probleme sont independants. Exercice. On note X = Cb(R) l'espace des fonctions continues bornees de R dans C, muni de la norme ?f?X = sup x?R |f(x)| , f ? X . Soit z un nombre complexe de partie reelle strictement positive. Etant donne f ? X, on definit une fonction Azf : R ? C par la formule (Azf)(x) = 1 2z ∫ R e?z|x?y|f(y) dy , x ? R . 1) Montrer que Azf ? X quel que soit f ? X. 2) Verifier que la correspondance f 7? Azf definit une application lineaire bornee de X dans X, et estimer la norme de cette application. 3) Soit f ? X et g = Azf . Montrer que la fonction g : R ? C est de classe C2 et verifie l'equation differentielle ?g??(x) + z2g(x) = f(x) , x ? R . En deduire que l'application Az : X ? X est injective, mais non surjective.

  • algebre des applications lineaires

  • az

  • rayon spectral de l'application az

  • k1?1 ∑

  • kj ≤

  • mat403 master


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UniversiteJosephFourier MasterMathematiques,Informatique
Cours MAT403 Annee20052006
Examen du 5 septembre 2006 Dureedelepreuve:3heures Lesnotesducoursetdestravauxdirigessontautorisees,alexclusiondetoutautredo-cument.Lexerciceetleproblemesontindependants. Exercice.On noteX=Cb(R)selecapnieubsroneedsedesfonctionscontRdansC, muni de la norme kfkX= sup|f(x)|, fX . xR SoitzsipovetiteicntmelleertsetrapreinneE.attnoderoconbmexedpmelunfX, on de nitunefonctionAzf:RCpar la formule Z 1 z|xy| (Azf)(x) =ef(y) dy ,xR. 2z R 1)Montrer queAzfXquel que soitfX. 2)acelqueronspreorecnadre iVf7→Azfden edituneapplicationilnaeriberoneeX dansX, et estimer la norme de cette application. 2 3)SoitfXetg=Azfque la fonction. Montrerg:RCest de classeCire evte lequationdi erentielle 002 g(x) +z g(x) =f(x), xR. EndeduirequelapplicationAz:XXPouvez-vousest injective, mais non surjective. caracterisersonimage? ikx 4)tantdonneEkR, on notefkXalofcnitrapein ednofk(xrq erie.Ve)=eufk est une fonction propre de l’applicationAziee.seatsscoeruqliiuurleopprerulvalate,clac EndeduirequelensembleCden pira n o 1  =kR∪ {0} 2 2 k+z est inclus dans le spectre deAzeestuell.Qmtegoeuteralanmbseenetecedquri?el 21 2 5)SoitC\eire qrulixesitVe.wCavec Re(w)>0, tel quez=w. En deduireque1Azest inversible dansL(X)elsgee(lapasederboitacilpeanlinsrnboesir deXdansXofallumraterilbet),e 1Aw 1 (1Az) = +. 2   Indication :etEnontdanhX, on cherchefXtel que (1Az)f=hpourra. On poserg=Azferentielle pouret ecrire une equation di gfaisant intervenir le second membreh. 6)En conclure que(Azest le rayon spectral de l’application. Quel) =Az?
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