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Examen d'Integration et Analyse de Fourier

4 pages
Niveau: Secondaire

  • cours - matière potentielle : manuscrites


Examen d'Integration et Analyse de Fourier Ecole normale superieure de Lyon 11 Janvier 2005 PRINCIPE D'INCERTITUDE DE HEISENBERG Le sujet est constitue de cinq parties plus ou moins liees. Les parties les plus delicates sont la fin de la partie III et la partie V. Les notes de cours manuscrites et imprimees sont autorisees. Il n'est pas necessaire de traiter une proportion impor- tante du sujet pour obtenir une tres bonne note. Le principe d'incertitude de Heisenberg est un des piliers theorique de la phy- sique quantique. Son interpretation physique est un probleme non trivial, mais sa demonstration mathematique, une fois accepte le formalisme de base de la mecanique quantique, ne pose guere de difficultes. Cette demonstration sera l'occasion d'abor- der quelques points techniques interessants de la transformee de Fourier. On notera la transformee de Fourier d'une fonction f sur Rn par f?(?) = ∫ Rn f(x) e?2iπx·? dx. On pourra utiliser sans demonstration les proprietes principales de cette trans- formee : les theoremes de Plancherel, Parseval, la formule d'inversion, et l'action de la transformee de Fourier sur la convolution (incluant l'inegalite de Young). On notera ? la convolution habituelle, sur R ou Rn selon le contexte. Un multi-indice ? = (?1, . . . , ?n) etant donne, on notera ∂? = ∂|?| ∂x?11 .

  • principe d'incertitude de heisenberg

  • multi-indices ?

  • formules en remplac¸ant ? par ∂?

  • proprietes de l'espace de schwartz

  • sens de la convolution

  • transformee de fourier

  • retour sur le principe d'incertitude

  • limite ?

  • piliers theorique de la phy- sique quantique


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ExamendInt´egrationetAnalysedeFourier
Ecolenormalesupe´rieuredeLyon 11 Janvier 2005
PRINCIPE D’INCERTITUDE DE HEISENBERG
Lesujetestconstitue´decinqpartiesplusoumoinslie´es.Lespartieslesplus de´licatessontlandelapartieIIIetlapartieV.Lesnotesdecoursmanuscriteset imprim´eessontautorise´es.Ilnestpasn´ecessairedetraiteruneproportionimportantedusujetpourobtenirunetr`esbonnenote.
LeprincipedincertitudedeHeisenbergestundespiliersth´eoriquedelaphysiquequantique.Soninterpre´tationphysiqueestunproble`menontrivial,maissa d´emonstrationmath´ematique,unefoisaccept´eleformalismedebasedelam´ecanique quantique,neposegue`rededicult´es.Cettede´monstrationseraloccasiondaborderquelquespointstechniquesinte´ressantsdelatransforme´edeFourier.
n Onnoteralatransforme´edeFourierdunefonctionfsurRpar Z b 2iπxξ f(ξ) =f(x)e dx. n R Onpourrautilisersansd´emonstrationlesproprie´te´sprincipalesdecettetransforme´e:lesthe´ore`mesdePlancherel,Parseval,laformuledinversion,etlaction delatransform´eedeFouriersurlaconvolution(incluantline´galit´edeYoung).On n noterala convolution habituelle, surRouRselon le contexte. |α| Un multii ndiceα= (α1, . . . , αnaerotnne´o,odnnattn)e´α=α, 1 αn ∂x .. . ∂x 1n ou`|α|=α1+. . .+αn. n Pourx, yR, on notera|x|la norme euclidienne dex, etxyle produit scalaire dexpary. n Siftuneesnoitcnofnere´idsuleabtirR, on noteraf= (1f, . . . , ∂nf) son n n vecteurgradient(cestunefonctionde´niedeRdansR). n Lamesuredinte´grationsurRsera toujours la mesure de Lebesgue.
I.La classe de Schwartz nn On noteS(R) l’ensemble des fonctionsCdeRdansRtelles que pour tout multiindiceα, et pour toutNN, N sup|αf(x)|(1 +|x|)<+. n xR n En d’autres termes,S(Rctoneftdaitfes)iluge´rse`rtsnoittoutesl`eresdone´sese´drevi tendentversz´ero`alinniplusvitequenimportequellepuissanceinversedela norme.(Onparledefonctions`ade´croissancerapide,mˆemesicesfonctionsne sontpas,strictosensu,d´ecroissantes.) I.1stna:esacivsulerespseertnbail´ttepnueelonsquusioinclseltnosselleuQ. 1n2nn n L(R),L(R),L(R),S(R) ?
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