Examen d'Integration et Analyse de Fourier

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01 janvier 2005

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Niveau: Secondaire

cours - matière potentielle : manuscrites

Examen d'Integration et Analyse de Fourier Ecole normale superieure de Lyon 11 Janvier 2005 PRINCIPE D'INCERTITUDE DE HEISENBERG Le sujet est constitue de cinq parties plus ou moins liees. Les parties les plus delicates sont la fin de la partie III et la partie V. Les notes de cours manuscrites et imprimees sont autorisees. Il n'est pas necessaire de traiter une proportion impor- tante du sujet pour obtenir une tres bonne note. Le principe d'incertitude de Heisenberg est un des piliers theorique de la phy- sique quantique. Son interpretation physique est un probleme non trivial, mais sa demonstration mathematique, une fois accepte le formalisme de base de la mecanique quantique, ne pose guere de difficultes. Cette demonstration sera l'occasion d'abor- der quelques points techniques interessants de la transformee de Fourier. On notera la transformee de Fourier d'une fonction f sur Rn par f?(?) = ∫ Rn f(x) e?2iπx·? dx. On pourra utiliser sans demonstration les proprietes principales de cette trans- formee : les theoremes de Plancherel, Parseval, la formule d'inversion, et l'action de la transformee de Fourier sur la convolution (incluant l'inegalite de Young). On notera ? la convolution habituelle, sur R ou Rn selon le contexte. Un multi-indice ? = (?1, . . . , ?n) etant donne, on notera ∂? = ∂|?| ∂x?11 .

principe d'incertitude de heisenberg

multi-indices ?

formules en remplac¸ant ? par ∂?

proprietes de l'espace de schwartz

sens de la convolution

transformee de fourier

retour sur le principe d'incertitude

limite ?

piliers theorique de la phy- sique quantique

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Principe d'incertitude Transformée de Fourier

Examend’Int´egrationetAnalysedeFourier

Ecolenormalesupe´rieuredeLyon 11 Janvier 2005

PRINCIPE D’INCERTITUDE DE HEISENBERG

Lesujetestconstitue´decinqpartiesplusoumoinslie´es.Lespartieslesplus de´licatessontlaﬁndelapartieIIIetlapartieV.Lesnotesdecoursmanuscriteset imprim´eessontautorise´es.Iln’estpasn´ecessairedetraiteruneproportionimpor tantedusujetpourobtenirunetr`esbonnenote.

Leprinciped’incertitudedeHeisenbergestundespiliersth´eoriquedelaphy siquequantique.Soninterpre´tationphysiqueestunproble`menontrivial,maissa d´emonstrationmath´ematique,unefoisaccept´eleformalismedebasedelam´ecanique quantique,neposegue`redediﬃcult´es.Cettede´monstrationseral’occasiond’abor derquelquespointstechniquesinte´ressantsdelatransforme´edeFourier.

n Onnoteralatransforme´edeFourierd’unefonctionfsurRpar Z b −2iπx∙ξ f(ξ) =f(x)e dx. n R Onpourrautilisersansd´emonstrationlesproprie´te´sprincipalesdecettetrans forme´e:lesthe´ore`mesdePlancherel,Parseval,laformuled’inversion,etl’action delatransform´eedeFouriersurlaconvolution(incluantl’ine´galit´edeYoung).On n notera∗la convolution habituelle, surRouRselon le contexte. |α| ∂ Un multii ndiceα= (α1, . . . , αnaerotnne´o,odnnattn)e´∂α=α, 1 αn ∂x .. . ∂x 1n ou`|α|=α1+. . .+αn. n Pourx, y∈R, on notera|x|la norme euclidienne dex, etx∙yle produit scalaire dexpary. n Siftuneesnoitcnofnere´ﬀidsuleabtirR, on notera∇f= (∂1f, . . . , ∂nf) son n n vecteurgradient(c’estunefonctionde´ﬁniedeRdansR). n Lamesured’inte´grationsurRsera toujours la mesure de Lebesgue.

I.La classe de Schwartz n∞n On noteS(R) l’ensemble des fonctionsCdeRdansRtelles que pour tout multiindiceα, et pour toutN∈N, N sup|∂αf(x)|(1 +|x|)<+∞. n x∈R n En d’autres termes,S(Rctoneftdaitfes)iluge´rse`rtsnoittoutesl`eresdone´sese´drevi tendentversz´ero`al’inﬁniplusvitequen’importequellepuissanceinversedela norme.(Onparledefonctions`a“de´croissancerapide”,mˆemesicesfonctionsne sontpas,strictosensu,d´ecroissantes.) I.1stna:esacivsulerespseertnbail´ttepnueel’onsquusioinclseltnosselleuQ. 1n2n∞n n L(R),L(R),L(R),S(R) ?

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