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L'équation de Szegö cubique Séminaire Analyse harmonique Orsay Mars

De
88 pages
Intro Szego cubic Lax pair Solitons M(1) Tores L'equation de Szego cubique Sandrine Grellier Universite d'Orleans- Federation Denis Poisson Orsay Mars 2010 en collaboration avec P. Gerard (Universite Paris sud) Sandrine Grellier L'equation de Szego cubique

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  • universite de paris sud

  • equation de szego cubique

  • intro szego cubic

  • systeme d'equations de transport couplees


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Intro
Szeg¨ocubic
Lax pair
Solitons
M(1)
Tores
L´equationdeSzego¨cubique
Sandrine Grellier
Universite´dOrle´ans-F´ede´rationDenisPoisson Orsay Mars 2010
en collaboration avecP. Ge´ rardU(evinssri)uditrsPa´e
Sandrine Grellier
L´equationdeSzego¨cubique
Intro pair SolitonsSzego¨ cubic LaxM(1)Tores Motivation
Etuded´equationdeSchro¨dingeroumi-onded´eg´ene´re´e.
SurS1={z=e
iθC, θR}deoni-emyptnoitauqe´ele`do,m
itu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0
´equivalent`auneel´upcost`emsysequaed´dsteitnooptrarsn
i(t+θ)Π(u) i(tθ)(IdΠ)(u)
= =
Π(|u|2u), (IdΠ)(|u|2u)
:go ou`ΠL2(S1)L2+(S1) ¨projecteur de Sze L2+(S1) :=(u=kX=0ˆu(k)eikθ; (uˆ(k))k`2(N)).
Sandrine Grellier
Le´quationdeSzeg¨ocubique
Introg¨ocSzepxaLcibutiloSriasonM(1)Tores Motivation
Etudede´quationdeSchro¨dingeroumi-onded´eg´ene´re´e.
SurS1={z=e
iθC, θR}tnoitauqe´ele`do,mdei-onypem
itu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0
e´ quivalent a` unyssemt`´eduaeqcoupl´eesitnodstearsnoptr
i(t+θ)Π(u) i(tθ)(IdΠ)(u)
= =
Π(|u|2u), (IdΠ)(|u|2u)
ou`Π :L2(S1)L2+(S1)eSzeeurdjectpro¨go L2+(S1) :=(u=Xˆu(k)eikθ; (ˆu(k))k`2(N)). k=0
Sandrine Grellier
L’e´ quation de Szego¨ cubique
IntrooSriapxasnotilegSzcLbicu¨oM(1)Tores Motivation
Etuded´tiondeSchro¨dingeroumi-ondede´g´en´ere´e. equa
SurS1={z=e
iθC, θR}d`el,moend-oimepytnoitauqe´e
itu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0
equivalent a` unes´etsys`emed´equationsedrtnapsroctuolp ´
i(t+θ)Π(u) i(tθ)(IdΠ)(u)
= =
Π(|u|2u), (IdΠ)(|u|2u)
ou`Π :L2(S1)L2+(S1)jorpegSz¨oteecdeur L2+(S1) :=(u=Xˆu(k)eikθ; (ˆu(k))k`2(N)). k=0
Sandrine Grellier
L’e´ quation de Szego¨ cubique
IntrosnSizreSgo¨loictuobicLaxpaM(1)Tores Motivation
Etuded´equationdeSchr¨odingeroumi-onded´egeneree. ´ ´ ´
SurS1={z=e
iθC, θR}epimo-dneytnoitauqe´ele`dmo,
itu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0
´ e´ quivalent a` uneesoupledrtoisnroctnapsstsyme`e´edatqu
i(t+θ)Π(u) i(tθ)(IdΠ)(u)
= =
Π(|u|2u), (IdΠ)(|u|2u)
ouΠ :L2(S1)L2+(S1)projecteur de Szego¨ ` L2+(S1) :=(u=Xuˆ(k)eikθ(ˆ(k))k`2(N)). ;u k=0
Sandrine Grellier
L´equationdeSzego¨cubique
IntrosnilotgezScLbicu¨oSoirpaaxM(1)Tores Motivation
Etudede´quationdeSchr¨odingeroumi-onded´ege´n´ere´e.
SurS1={z=e
iθC, θR},om`dle´eqeauitontypemi-onde
itu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0
equivalent a` un essyste` me d’e´ quations de transport couple´ ´
i(t+θ)Π(u) i(tθ)(IdΠ)(u)
= =
Π(|u|2u), (IdΠ)(|u|2u)
o`uΠ :L2(S1)L2+(S1)¨oSzegetceedrujorp L2+(S1) :=(u=k=X0uˆ(k)eikθ; (ˆu(k))k`2(N)).
Sandrine Grellier
L´equationdeSz¨cubique ego
Intro¨oegSztonsLcxauciboSilapriM(1)Tores Motivation
Etudede´quationdeSchro¨dingeroumi-ondede´g´en´er´ee.
SurS1={z=e
iθC, θR}noitauqe´ele`dom,ndemi-otype
itu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0
´equivalent`aun essyste` me d’e´ quations de transport couple´
i(t+θ)Π(u) i(tθ)(IdΠ)(u)
= =
Π(|u|2u), (IdΠ)(|u|2u)
o`uΠ :L2(S1)L2+(S1)edzSetrujocerpeg¨o L2+(S1) :=(u=Xuˆ(k)eikθ; (ˆu(k))k`2(N)). k=0
Sandrine Grellier
L´equationdeSzegocubique ¨
IntroSzego¨ cubic pair Lax Solit Forme normale
onsM de
Th´eor`eme Si s>1, pour u0 ku0kHs=ε <<1
ou `
(1)Tores Birkhoff
Hs(S1)avecΠ(u0) =u0 , alors
ku(t)v(t)kHs
Cε2,t
et
cε2log(1ε)
i(t+θ)v= Π(|v|2v).
En posant,v(t, θ+t) =w(t, θ)uationdenola´qe, Szeg¨ocubique
itw= Π(|w|2w).
Sandrine Grellier
(S)
L´equationdeS¨ocubique zeg
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