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Modèle à retard échelonné : cas de modèle d'Almon

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La théorie économique postule l’existence d’effets étalés dans le temps entre les différentes grandeurs économiques. Ainsi, les modèles à retards échelonnés ajoutent la dimension temporelle à l’explication des variables, comme le laisse supposer la théorie. Du fait que l’influence d’une variable peut être instantanée ou s’étaler dans le temps, les économistes cherchent à déterminer au bout de combien de temps s’estompe l’effet de la variables explicative sur la variable expliquée et la forme de la distribution des retards afin de trouver la méthode d’estimation. Il existe plusieurs méthodes dont entre autre celle de Koyck, d’Almon …Cette dernière qui constitue le cadre de notre travail a été mis au point en 1964 par S. Almon. Connue aussi par méthode polynomiale d’Almon (MPA), elle est une alternative aux problèmes que se heurte la méthode de Koyck.
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F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES MODELE D’ALMON Présenté par ISSA Habou , Mourad Es- salmani et Adnane Biyali sous l’encadrement de Mr El Hafidi Introduction I. Principes 1. Détermination de la longueur du retard 2. Modélisation d’Almon II. Estimation 1. Détermination des estimateurs 2. Propriétés statistiques des estimateurs III. Application sur la relation entre PIB et épargne domestique au Maroc de 1960 à 2008 Entrée des données leur sortie et leur interprétation sont faites grâce au logiciel d’économétrie « EVIEWS » Conclusion 1 F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES Introduction La théorie économique postule l’existence d’effets étalés dans le temps entre les différentes grandeurs économiques. Ainsi, les modèles à retards échelonnés ajoutent la dimension temporelle à l’explication des variables, comme le laisse supposer la théorie. Du fait que l’influence d’une variable peut être instantanée ou s’étaler dans le temps, les économistes cherchent à déterminer au bout de combien de temps s’estompe l’effet de la variables explicative sur la variable expliquée et la forme de la distribution des retards afin de trouver la méthode d’estimation. Il existe plusieurs méthodes dont entre autre celle de Koyck, d’Almon …Cette dernière qui constitue le cadre de notre travail a été mis au point en 1964 par S. Almon. Connue aussi par méthode polynomiale d’Almon (MPA), elle est une alternative aux problèmes que se heurte la méthode de Koyck. Elle poursuit deux objectifs principaux à savoir la réduction de colinéarité des variables explicatives entre elles et celui de la spécification de la distribution des retards pour permettre de restituer tout profil d’évolution temporelle. Puisque l’effet infini d’une variable sur une autre n’est que théorique, Almon propose un modèle dont la structure du retard est fini. En se basant sur le théorème de Weierstass, il choisit d’exprime la distribution des retards par une fonction polynomiale. En effet, on sait que pour une suite de n point, il est possible de trouver une fonction polynomiale de degré approprié passant par tous les points. I. Principes du modèle polynomial d’Almon Soit le modèle à retard échelonné suivant : Y = +  X +  X +  X +  X +……+  (MRE) t 0 t 1 t-1 2 t-2 3 t-3 t Y =  +  +  t t Dans cette relation, la structure des retards est infinie. On ne peut pas en effet estimer ce modèle directement à cause des problèmes de multicolinéarité. Cependant comme nous venons de le dire, le modèle polynomiale d’Almon a une forme fini des retards et permet d’escalader ce problème. Son écriture implique l’estimation de (n+1) paramètres. 1. Détermination de la longueur du retard 2 F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES Il existe des méthodes statistique permettant de déterminer de façon optimale le nombre du retard, on en distingue trois principalement : le test de Fisher, le critère de Akaike et le critère de Schwarz  Test de Fisher Il consiste à tester de manière descendante la nullité des coefficients de régression pour une longueur de retard supérieure à l On formule les hypothèses que l est compris entre 0 et M : 0< l < M 1 1H0 : l = M-1   =0 H1 : l = M    0 M M 2 2H0 : l = M-2   =0 H1 : l = M-1   -1 0 M-1 M …………… ………….. i iH0 : l = M-i   =0 H1 : l = M- i +1   0 M-i +1 M-i+1 La statistique du test est donc F = La règle est : Si Fi > F - α (1, n – M + i – 3) on rejette H0 et la longueur du retard est M-i +1 1  Critère de Akaike (AIC) et de schwarz  Akaike C’est une méthode qui consiste à retenir une longueur l qui minimise la fonction AIC(l) = +  Schwarz Proche de la précédente, elle consiste aussi à minimiser SC(l) = + Maintenant que nous avons les procédures de détermination du retard optimal nous pouvons aborder la modélisation d’Almon. 2. Modélisation d’Almon Pour une longueur de retard donnée, le modèle s’écrit : Y =  +  X +  X +  X +  X +……+  X +  (MPA1) t 0 t 1 t-1 2 t-2 3 t-3 p t-p t 3 F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES Y =  +  +  t t Almon exprime le  en fonction de i la longueur du retard, et le considère i comme un polynôme de faible degré 3 ou 4 au maximum. Ainsi nous avons : 2 pi =  +  i +  i +………+  i0 1 2 p (P1) L’analyse économique permet de déterminer la forme du polynôme. Comme cette méthode d’Almon autorise toutes représentations possibles de retards, nous pouvons alors préciser le nombre de degré du polynôme selon les retournements que permet de visualiser le schéma. Le nombre de degré est égal au nombre de retournement ajouté de un (1) (i) i= retard 2 3 4Figure 1 : le polynôme est de degré 4 soit i =  +  i +  i +  i +  i 0 1 2 3 4 4 F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES (i) i=retard 2Figure 2 : le degré du polynôme est de 2 soit i =  +  i +  i 0 1 2 D’autres formes peuvent être imaginées selon ce qu’autorise la modélisation économique. Considérons le MPA1 ci-dessus et remplaçons  par sa valeur ; on obtient i donc : Y =  +    +  t t Cette expression donne : Yt =  +  X lorsque i=0 0 t + (  +  +  +  +……+  ) X lorsque i=1 0 1 2 3 p t-1 p + (  +  .2 +  .4 +  .8+ …..+  2 )X lorsque i=2 0 1 2 3 p t-2 +…….. ……………. 2 3 p + (  +  k +  k +  k + …..+  k )X lorsque i=k 0 1 2 3 p t-k +  t Si on met les  en facteur on aura : i 5 F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES Yt =  +  (X + X +X + X + X +….. + X ) 0 t t-1 t-2 t-3 t-4 t-K +  (X + 2X +3X + 4X +…..+ pX ) 1 t-1 t-2 t-3 t-4 t-k 2 3 4 2 +  (X + 2 X + 2 X + 2 X +…. + p X ) 2 t-1 t-2 t-3 t-4 t-k 2 3 4 p +  (X + 3 X + 3 X + 3 X +…. + 3 kX ) 3 t-1 t-2 t-3 t-4 t-k +……….. 2 3 4 k +  (X + p X + p X + p X +…… + p X ) p t-1 t-2 t-3 t-4 t-k +  t On pose : Z = X + X +X + X + X +….. + X = 0t t t-1 t-2 t-3 t-4 t-K Z = X + 2X +3X + 4X +…..+ pX = 1t t-1 t-2 t-3 t-4 t-k 2 3 4 2 Z = X + 2 X + 2 X + 2 X +…. + p X = 2t t-1 t-2 t-3 t-4 t-k 2 3 4 p Z = X + 3 X + 3 X + 3 X +…. + 3 kX = 3t t-1 t-2 t-3 t-4 t-k ……… 2 3 4 k Z = X + p X + p X + p X +…… + p X = pt t-1 t-2 t-3 t-4 t-k On obtient alors : Y =  +  Z +  Z +  Z +  Z +…………+  Z +  (MPA2) t 0 0t 1 1t 2 2t 3 3t p pt t De cette relation, on constate que Yt est expliquée par Z , Z , Z ……Z qui 0t 1t 2t pt sont aussi des combinaisons linéaires des X t-I Si nous revenons au polynôme d’Almon précédent, nous pouvons avoir les séquences suivantes :  =  0 0 6 F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES  =  +  +  + 3 ……………. +  1 0 1 2 p 2 3 =  + 2  + 2  + 2  …………+2P  2 0 1 2 3 p 2 3 p =  +3  +3  +3  ……………..+3  3 0 1 2 3 p ...…………. 2 3 p =  + n  + n  + n  +……………..+ n  n 0 1 2 3 p Sous forme matricielle on a :      =   Soit encore :  = H  Ou       = H = et  =   Le modèle devient finalement: 7 F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES Y = XH  +  (MPA3) Ou = Maintenant que le principe de modèle d’Almon est supposé compris, on va procéder à l’estimation des coefficients par la méthode des moindres carrées ordinaires. Estimation L’estimation comme nous le savons est une technique statistique qui consiste à partir d’un échantillon de déterminer les paramètres possibles de la population à savoir l’espérance mathématique, la variance, l’écart type etc. L’équation de régression qui va permettre de déterminer les estimateurs est : Y = + avec = t t Or = Z + Z + Z +……………………+ Z 0t 1t 2t pt  Y = Z + Z + Z +……………………+ Z + t 0t 1t 2t pt Sous forme matricielle c’est : Y = XH  +  Ainsi la somme des carrés du résidu à minimiser est : 2 = (Y - Z - Z - Z -……………………- Z ) t 0t 1t 2t pt = = (Y -XH  )’(Y -XH  ) 8 F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES     = = = 0 On a   Y’Y +   - Y’  -  Y = 0 Ou encore   Y’Y +   - 2  Y =0 Donc = 2  - 2 Y = 0 ce qui donne  Y -1   = ) (H’X’Y) Les propriétés statistiques des estimateurs L’espérance mathématique de  -1Dans  = ) (H’X’Y) remplaçons Y par sa valeur qui est Y = XH  +  -1 = ) (H’X’ (XH + )) -1 -1   = ) (H’X’ XH ) + ) H’X’  -1 -1Ainsi E(  ) =E(  + ) H’X’ ) => E(  )= E( ) + E(( ) H’X’ ) -1 E(  )=  + ( ) H’X’E( ) or E( ) = 0 Dans ce cas E(  )=  on dit l’estimateur  est sans biais. La matrice de la variance covariance de  2 ’Var-cov(  ) = E(  - E(  )) = E(  - ) (  - ) -1Si haut nous avons (  - ) =(( ) H’X’ ) -1 -1Donc E(  - )( - )’ = E[ ( ) H’X’ ][( ) H’X’ )]’ -1 -1  E(  - )( - )’ = E[( ) H’X’  ’ ) ] 2Or d’après l’une des hypothèses de MCO E(  ’) = -1 -1Et donc Var-cov(  ) = ( ) H’X’ E(  ’) ) 2 -1  Var-cov(  ) = ( ) Mais il est impossible de connaitre la valeur de la matrice de variance- 2covariance car est inconnu et dépend des erreurs qui sont elles aléatoires et 9 F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES non observables c’est pourquoi il convient de trouver un estimateur sans biais 2de Nous savons que = Y- XH  ou encore = Y- XH  en remplaçant Y par sa valeur, on a = XH  +  - XH  on remplace -1 = ) H’X’ (XH + ) dans par son expression ce qui donne -1 = XH  +  - XH[ ) H’X’ (XH + )] -1 -1 = XH  +  - XH ) H’X’XH  - XH ) H’X’  -1 = XH  +  - XH  - XH ) H’X’  -1 =  - XH ) H’X’  -1 -1 = (I- XH ) H’X’)  on pose M = XH ) H’X’ une matrice idempotente ou M’M = M Donc on a = ’M’M  = ’M  -1E( ) = E( ’(I- XH ) H’X’) ), on peut introduire la trace puisque la trace d’un scalaire donne ce scalaire et tr(AB)=tr(BA) ; tr(A+B)=tr(A) +tr(B) -1 -1 E( ) = E[tr( ’(I- XH ) H’X’) )] =E[tr(I- XH ) H’X’) ’ ] -1 -1 = tr(I- XH[ ) H’X’)E( ’ ) = ( tr(I ) – tr(XH ) H’X’)) n = (tr(I ) – tr(I )) or tr(I ) = n n k n E( ) = (n-k) => = avec E( ) = SCR ( somme des carrés résiduels) -1Donc la matrice de la variance covariance vaut Var-cov( )= (H’X’XH) De la modélisation du modèle d’Almon qui précède, on s’aperçoit que : -1  est linéaire => = (  + ) H’X’ )  est sans biais et consistent car E( =  -1 = (H’X’XH) = 0 10