La théorie économique postule l’existence d’effets étalés dans le temps entre les différentes grandeurs économiques. Ainsi, les modèles à retards échelonnés ajoutent la dimension temporelle à l’explication des variables, comme le laisse supposer la théorie. Du fait que l’influence d’une variable peut être instantanée ou s’étaler dans le temps, les économistes cherchent à déterminer au bout de combien de temps s’estompe l’effet de la variables explicative sur la variable expliquée et la forme de la distribution des retards afin de trouver la méthode d’estimation. Il existe plusieurs méthodes dont entre autre celle de Koyck, d’Almon …Cette dernière qui constitue le cadre de notre travail a été mis au point en 1964 par S. Almon. Connue aussi par méthode polynomiale d’Almon (MPA), elle est une alternative aux problèmes que se heurte la méthode de Koyck.
F.S.J.E.S –FES MASTER : FINANCE & ECONOMETRIE APPLIQUEES
MODELE D’ALMON
Présenté par ISSA Habou , Mourad Es- salmani et Adnane Biyali sous l’encadrement de Mr El Hafidi
Introduction
I. Principes
1. Détermination de la longueur du retard
2. Modélisation d’Almon
II. Estimation
1. Détermination des estimateurs
2. Propriétés statistiques des estimateurs
III. Application sur la relation entre PIB et épargne domestique au
Maroc de 1960 à 2008
Entrée des données leur sortie et leur interprétation sont faites grâce au logiciel
d’économétrie « EVIEWS »
Conclusion
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Introduction
La théorie économique postule l’existence d’effets étalés dans le temps entre
les différentes grandeurs économiques. Ainsi, les modèles à retards échelonnés
ajoutent la dimension temporelle à l’explication des variables, comme le laisse
supposer la théorie. Du fait que l’influence d’une variable peut être instantanée
ou s’étaler dans le temps, les économistes cherchent à déterminer au bout de
combien de temps s’estompe l’effet de la variables explicative sur la variable
expliquée et la forme de la distribution des retards afin de trouver la méthode
d’estimation. Il existe plusieurs méthodes dont entre autre celle de Koyck,
d’Almon …Cette dernière qui constitue le cadre de notre travail a été mis au
point en 1964 par S. Almon. Connue aussi par méthode polynomiale d’Almon
(MPA), elle est une alternative aux problèmes que se heurte la méthode de
Koyck. Elle poursuit deux objectifs principaux à savoir la réduction de
colinéarité des variables explicatives entre elles et celui de la spécification de la
distribution des retards pour permettre de restituer tout profil d’évolution
temporelle. Puisque l’effet infini d’une variable sur une autre n’est que
théorique, Almon propose un modèle dont la structure du retard est fini. En se
basant sur le théorème de Weierstass, il choisit d’exprime la distribution des
retards par une fonction polynomiale. En effet, on sait que pour une suite de n
point, il est possible de trouver une fonction polynomiale de degré approprié
passant par tous les points.
I. Principes du modèle polynomial d’Almon
Soit le modèle à retard échelonné suivant :
Y = + X + X + X + X +……+ (MRE) t 0 t 1 t-1 2 t-2 3 t-3 t
Y = + + t t
Dans cette relation, la structure des retards est infinie. On ne peut pas en effet
estimer ce modèle directement à cause des problèmes de multicolinéarité.
Cependant comme nous venons de le dire, le modèle polynomiale d’Almon a
une forme fini des retards et permet d’escalader ce problème. Son écriture
implique l’estimation de (n+1) paramètres.
1. Détermination de la longueur du retard
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Il existe des méthodes statistique permettant de déterminer de façon optimale le
nombre du retard, on en distingue trois principalement : le test de Fisher, le
critère de Akaike et le critère de Schwarz
Test de Fisher
Il consiste à tester de manière descendante la nullité des coefficients de
régression pour une longueur de retard supérieure à l
On formule les hypothèses que l est compris entre 0 et M : 0< l < M
1 1H0 : l = M-1 =0 H1 : l = M 0 M M
2 2H0 : l = M-2 =0 H1 : l = M-1 -1 0 M-1 M
…………… …………..
i iH0 : l = M-i =0 H1 : l = M- i +1 0 M-i +1 M-i+1
La statistique du test est donc F =
La règle est :
Si Fi > F - α (1, n – M + i – 3) on rejette H0 et la longueur du retard est M-i +1 1
Critère de Akaike (AIC) et de schwarz
Akaike
C’est une méthode qui consiste à retenir une longueur l qui minimise la
fonction AIC(l) = +
Schwarz
Proche de la précédente, elle consiste aussi à minimiser
SC(l) = +
Maintenant que nous avons les procédures de détermination du retard
optimal nous pouvons aborder la modélisation d’Almon.
2. Modélisation d’Almon
Pour une longueur de retard donnée, le modèle s’écrit :
Y = + X + X + X + X +……+ X + (MPA1) t 0 t 1 t-1 2 t-2 3 t-3 p t-p t
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Y = + + t t
Almon exprime le en fonction de i la longueur du retard, et le considère i
comme un polynôme de faible degré 3 ou 4 au maximum.
Ainsi nous avons :
2 pi = + i + i +………+ i0 1 2 p
(P1)
L’analyse économique permet de déterminer la forme du polynôme. Comme
cette méthode d’Almon autorise toutes représentations possibles de retards, nous
pouvons alors préciser le nombre de degré du polynôme selon les retournements
que permet de visualiser le schéma. Le nombre de degré est égal au nombre de
retournement ajouté de un (1)
(i)
i= retard
2 3 4Figure 1 : le polynôme est de degré 4 soit i = + i + i + i + i 0 1 2 3 4
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(i)
i=retard
2Figure 2 : le degré du polynôme est de 2 soit i = + i + i 0 1 2
D’autres formes peuvent être imaginées selon ce qu’autorise la modélisation
économique.
Considérons le MPA1 ci-dessus et remplaçons par sa valeur ; on obtient i
donc :
Y = + + t t
Cette expression donne :
Yt = + X lorsque i=0 0 t
+ ( + + + +……+ ) X lorsque i=1 0 1 2 3 p t-1
p + ( + .2 + .4 + .8+ …..+ 2 )X lorsque i=2 0 1 2 3 p t-2
+…….. …………….
2 3 p + ( + k + k + k + …..+ k )X lorsque i=k 0 1 2 3 p t-k
+ t
Si on met les en facteur on aura : i
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Yt = + (X + X +X + X + X +….. + X ) 0 t t-1 t-2 t-3 t-4 t-K
+ (X + 2X +3X + 4X +…..+ pX ) 1 t-1 t-2 t-3 t-4 t-k
2 3 4 2 + (X + 2 X + 2 X + 2 X +…. + p X ) 2 t-1 t-2 t-3 t-4 t-k
2 3 4 p + (X + 3 X + 3 X + 3 X +…. + 3 kX ) 3 t-1 t-2 t-3 t-4 t-k
+………..
2 3 4 k + (X + p X + p X + p X +…… + p X ) p t-1 t-2 t-3 t-4 t-k
+ t
On pose :
Z = X + X +X + X + X +….. + X = 0t t t-1 t-2 t-3 t-4 t-K
Z = X + 2X +3X + 4X +…..+ pX = 1t t-1 t-2 t-3 t-4 t-k
2 3 4 2 Z = X + 2 X + 2 X + 2 X +…. + p X = 2t t-1 t-2 t-3 t-4 t-k
2 3 4 p Z = X + 3 X + 3 X + 3 X +…. + 3 kX = 3t t-1 t-2 t-3 t-4 t-k
………
2 3 4 k Z = X + p X + p X + p X +…… + p X = pt t-1 t-2 t-3 t-4 t-k
On obtient alors :
Y = + Z + Z + Z + Z +…………+ Z + (MPA2) t 0 0t 1 1t 2 2t 3 3t p pt t
De cette relation, on constate que Yt est expliquée par Z , Z , Z ……Z qui 0t 1t 2t pt
sont aussi des combinaisons linéaires des X t-I
Si nous revenons au polynôme d’Almon précédent, nous pouvons avoir les
séquences suivantes :
= 0 0
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= + + + 3 ……………. + 1 0 1 2 p
2 3 = + 2 + 2 + 2 …………+2P 2 0 1 2 3 p
2 3 p = +3 +3 +3 ……………..+3 3 0 1 2 3 p
...………….
2 3 p = + n + n + n +……………..+ n n 0 1 2 3 p
Sous forme matricielle on a :
=
Soit encore : = H
Ou
= H = et =
Le modèle devient finalement:
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Y = XH + (MPA3)
Ou =
Maintenant que le principe de modèle d’Almon est supposé compris, on va
procéder à l’estimation des coefficients par la méthode des moindres carrées
ordinaires.
Estimation
L’estimation comme nous le savons est une technique statistique qui consiste à
partir d’un échantillon de déterminer les paramètres possibles de la population à
savoir l’espérance mathématique, la variance, l’écart type etc.
L’équation de régression qui va permettre de déterminer les estimateurs est :
Y = + avec = t t
Or
= Z + Z + Z +……………………+ Z 0t 1t 2t pt
Y = Z + Z + Z +……………………+ Z + t 0t 1t 2t pt
Sous forme matricielle c’est : Y = XH +
Ainsi la somme des carrés du résidu à minimiser est :
2 = (Y - Z - Z - Z -……………………- Z ) t 0t 1t 2t pt
= = (Y -XH )’(Y -XH )
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= = = 0
On a Y’Y + - Y’ - Y =
0
Ou encore Y’Y + - 2 Y =0
Donc = 2 - 2 Y = 0 ce qui donne Y
-1
= ) (H’X’Y)
Les propriétés statistiques des estimateurs
L’espérance mathématique de
-1Dans = ) (H’X’Y) r