Rigidité topologique sous une hypothèse

Guillemette Reviron

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Rigidité topologique sous une hypothèse d'entropie majorée et applications Guillemette Reviron Prépublication de l'Institut Fourier n o 686 (2006) www-fourier.ujf-grenoble.fr/prepublications.html Abstract We study some families of compact length spaces whose entropy is bounded from above. We prove that these families are complete w.r.t. the Gromov-Hausdor? distance and we give an explicit constant ?0 > 0 such that, on balls of radius ?0 with respect to the Gromov-Hausdor? distance, the fundamental group is constant, the universal covers are close for the equivariant Gromov-Hausdor? distance, the length spectrum is continuous and the entropy is Lipschitz continuous. If we consider now some subsets of manifolds, we show moreover that the volume is semi-continuous from below and that the integral of the Ricci curvature is bounded from below. Keywords: Metric spaces, entropy, Gromov-Hausdor? distance, (pre)compactness, topological rigidity, universel cover, length spectrum, volume. Résumé Nous étudions certaines familles d'espaces de longueur compacts dont l'entropie volu- mique est majorée. Nous montrons que ces familles sont complètes pour la distance de Gromov-Hausdor? et nous prouvons l'existence d'une constante explicite ?0 > 0 telle que, sur les boules de rayon ?0 pour la distance de Gromov-Hausdor?, le groupe fondamental est constant, les revêtements universels sont proches pour la distance de Gromov-Hausdor? équivariante, le spectre des longueurs est continu, l'entropie est

• distance de gromov-hausdor?


• courbure de ricci


• espace de longueur compact


• gromov-hausdor?


• groupe fondamental


• variété


• reviron rigidité topologique sous l'hypothèse entropie


• rigidité topologique

Sujets

• Anderson
• Gromov
• Courbure scalaire
• Groupe fondamental
• Varieté

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
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• Langue: Français

Extrait

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GuillemetteRevironues,l'existenceSiPr?publicationtropiedetapplicationsl'InstitutFheouriertnuletectre686compactes,(2006)'inwww-fourier.ujf-greologique,noble.fr/prepublications.html;AbstractmonWeesousstudyt,somedefamiliestropieofsous-ensemcompactceslengthconspacesminor?ewhosev-Hausdor,ensptrop:ycompactsisestbsoundedlafrometabexosurvye.tsWpearianproconvp-enthatari?thesedefamiliesraaolumeretcompletecourburew.r.t.Mots-cl?sthedeGromogv-Hausdortdistancevaicsnd;wdeetgivolu-ejor?e.anqueexplicitsconstanpttajor?eGromomaprouvtropieconstand'enesuctellehbthat,deontopballsrevoferselsradiuscoth?selaypv-Hausdorwithlereslongueurspu,ectLtohitziennetheseGromo?v-Hausdordesdistanceriemannie,montheque,fundamenoulestalongroupleissemconstanut,quethedeunivRicciersalmencoEspacesvtropie,ersmacit?,redit?close?temeforerselthedesequiv2000arianatjectGromo;v-Hausdor;distance,d'espacesthelongueurlengthdonspl'enectrumvismiqueconmatinNousuoustronsandcethefamilleensontropcompl?tesyourisdisLipscnchitzdeconv-Hausdortinnousuous.onsIfd'unewteepliciteconsiderunhologiquepque,lalesdeov-Hausdor,esgrouprafondamenonestnowoursomedistancesubsGromoetsleofemanifolds,talwconstanelessho?temenwunivmoreosonvproehesrourthatdistancetheGromov?quivolumete,isspsemi-condestinestuoustinfroml'enbesteloiwscand.thatl'ontherestreiinttegralcertainsofblesthevRt?siccinnescurvnousatronsturplusesurisbbdeoundedyRigidit?fromb,elovw.estKeywi-ordstin:inf?rieuremenMetricetspaces,lent?graletroplayde,estGromouniform?-v-Hausdort.distance,:(pre)cm?triqoenmdistancepaGrocotness,(pr?)compa-topriologicalirigidittopyrev,nunivuniversel,coectrevlongueurs,er,olume.lengthMatspmectrum,tvSubolume.ClassicationR?sum?54E45Nous53C23?tudions53C24certaines14H30familles37A35o
Rm,K,D
m

m 2R := (M ,g)/diam(M,g)≤D; Ricci(M,g)≥−(m−1)K gm,K,D
(X,g) m
R X dm,K,D GH
X (R ,d )m,K,D GH
Rm,K,D
Rm,K,D
Rm,K,D
m
D
tstopologiquesetd?crivausdor.lg?om?triquesils(premier?galemennomespacesbretindedonBetti,Riccivmaolume,quispeyectreSturmmamillerqu?pardesparlongueurs,tenletropiehvgrolumique...).lesCestquestionsdicileonJ.t).?t?antr?svue?tuldi?es,o-parv-Hausdorexeminor?emplecompletsupr?senrisationlesvfamillespdder?sultatscourburedesusdeevleari?t?soth?sesrieman-laniennesdecompaclongueurtes(vdetradimensionT.quede,Lott-C.delacourbqueurepdeconsid?renRiccibleminor?em?triquesetypdetdiam?trelamadesjor?estd?niesestplusuprdistance?dancis?mentvpsurarpainsietausdor,ypv-HtalGromoarticle,desurdistancenouslatdehvis-?-vistropiects)descompaestm?triquesnd'espacesat,o-n?ralemenque?-ingtinplusv-Hausdor(et,sous-ensemcompactesbleriemanniennesditsari?t?sestvcade)led'isom?tried(classesauxdeerfamillesqcertainestsurd'incompl?tudet,deetettpr?compacit?hede:ergence,l'adh?rencevecontdetrins?que,r?sultatscette(vunoir,l'ensempardesexemple,surlestsurvdimensioneys?ta[Co1],tin[Ga3],ort[Pdea]l'ensemetde[Plae]niform?mensurlelesa-traestvsous-ensemauxourdeGromoM.cepAnderson,que,K.leursFpuktiellemenag?n?rayl'ha,courbureM.ositivGromosurv,cetteJ.impliqueCheeger,eT.?Colding,Dans...).nousNousdirectemennousfamillespropgueur,osonsnsicioth?sesd'absurorderuncesoth?seth?mesdeenolumique.rnsempla?antdontl'hypeoth?secrclassiqueonsurila.consourburdeesudesacesvari?t?shprararianunethyppoth?sdeeconbienunplusblefaiblel'ensemdedesmajorm?triquesationdedequ'ill'entr?stderract?riseropieoir.survDans[Co1]leescadrevclassique,del'CheeghetypColdingoth?seuideencourburel'adh?rencedevRicciuit?minoR?cemmenr?eJ.obligeVillanilesK-T.vonari?t?seu?d?marcsesuivressemteblerplut?ttopd'?tudierologdeiconqd'unuemenointdeetingils?om?triquementt.fa-Pcommearsous-ensemexemple,deunbdeser?sultatsespacesdemesur?sarianlequeletg?n?ralisendel'hminor?e,oth?sed?nitionsJ.CheegercourbureetRicciT.lesColdingprop(vs?esoirnleconth?or?meuesA.112rappde?[CC1])distanceassureGromoque,:siblel'onespacesselongueurxetunecourbure-dimensionvuari?t?tcompacteetdesdiam?treicimtonsjor?dpr?senNousalorsdendimensionbleductionp,latoutedevv-Hari?t?Notonscompacteendtejusqu'?m?met,dimensiontraappartenanauxtorten?essentrotInla1letdesusammenytoth?sepderopceheque,deles6ari?t?s,phouroth?selaquedigroupsfondamentancestecroissancedeolyn?miale.Grcetomov-Hausdornous(pla?onsnot?tet200desMarsd'espaces)lon-estmaisdi?omorpherempla?o?lesyp.habituellemenDefaitesplalparues,yp686denjorationourierl'enFvl'InstitutNodeconsid?roPr?publicationainsipasespacesr?sultatleuoupdemandefondamental?tre?roissancciexpete?e,tquiefaitlelaNousNotrevestprisdespartid'espacesn'impcompl?tesserourlaespde?tudi?sv-Hausdor.desyypCaucsuhdesyvd'?lts?sonmencontsusdeouretdistancenitudeGromouit?(cetteformentinen'est2unestconnpr?compact.etComme?ilpn'est?pass?ecomplet,prouvilceestseranaturelpard'?tudiersuite).sonbutadh?renced'obtenir:familleslesm?triqueslimitespdersudistanceiGromotesNousde?tudieronsMH,D
D H
(X,d )X
ep : (X,d )−→ (X,d ) xee XX
eX N (R) xexe
R
1
Ent(X,d ) = lim logN (R).X xe
R−→+∞R
xe
1
Ent (X,g) = lim logVol(B (x,e R)).vol ge
R−→+∞R
Rm,K,D
M H = (m−1)K M RH,D H,D m,K,D
M dH,D GH
Rm,K,D
m m≥ 4
m
Rm,K,D
(X,g) m ≥ 3
((X ,g ))n n n∈N
m X
(Vol(X ,g ))n n n∈N
Rm,K,D
-ailvla(vdetraD?nitiondevCadreue...).compacteolume,vvr?sultate,tenolumiquestvdi?rentropieth?or?meend'unelongueur,estdescon.bleSoiroituni-marqu?laectredimensionunoirpsuiteointadmetdelimitespari?t?Betti,tet'endehesbreannomers(premiertints2.29),arianl'estleM.nombr5.3)edimensiondepplimiteointsv-Hausdordeniennesl'orbitendejv2.31)inqu(pcaract?ristiquesarestl'actionlesdualorsgrcertainoup(iii)ecdesespautomorphismescommeduari?t?srdesev?tement:udonnjor?e,iverselde)classessitu?s[Re],dansolumeune?b[Re],oulequedeunrlaypr?compacit?onvcertainsth.TAriemanniennelorspairederuit??tretincommeconsensladeersels,d'uneunivari?t?stsde?temen,revl'endestncer?eergeexemvtellesconvladeologique,ttop'rigidit?(ceclaossiblepr?compactes,actsous-famillesari?t?sertainessonc?departirl'adh?renced'apr?s(Ildeestoutefacileiennededev?rierdimensionquepl'entrobtenopielimitvolumiquedenecompactesd?pemend-pm?meastoutesdutepl'enointt3telleapplicationsmani?reetestquel'enlatendelimite(vexiste.)2.33).Danslelcoesurcadreprdesoirvexempleari?t?standisriemanniennesl'ensemcompactes,senscet(dansind'apr?sveariandetdeco?ncideGromoa(vv[Gr]ec?or?mel'en(ii)tropieoutevari?t?olumiquedeclassiqueverseldes(vev?tementari?t?s)d?nieeutpaobrueetlajor?e(aul'entrdeetdistancemaGromotropie)ensuiteoth?sevyprieman-l'hcompactessousm?meologiqueunedodiam?trtletropiedontuniform?menonnexe),matopoc(vRigidit?[Re],pleRevironmaisdeqsimplementdeuxnonari?t?slementelconques(?ventuellauniverselaienev?tementdesrdunEuleradmettenttesquiiLeimpth?or?medansdequiBishop-Gromopuisquevvimpliquedealorssuitequetl'ensemdi?omorphesbleleurs?actd'unomprangestleinclusA.112dans[CC])l'en-Tsemvbleriemanncomparlongueurpe(pdeouacrunlongueureude?treesueclaaeth?or?mesuite?sv)riemanniennes;lensfait,blemajorSoitsont1.relativdetdimensionNous,consid?ronsdi?omorpv-?d'apr?s,quetvolumiquetropie12)uniform?mend?nitionma-dansmaislequesenssuivsuivlaand?nietolumique:tropie(i)o?L'ensemetblevlal'innidansoircis?exemplen'estAupastraire,pr?compactvpestournlaudistancelad'isom?triedeopieemenest?biendistanceplusGromovHausdorasteled'esp0.1G.[Co]).o
(ii)
m
m
FSG(N) FSG
G FSG(N)
0 N 0 N(γ,γ ) γ (γ )
0 −N(γ )
MH,D
MN,H,D
MH,D
FSG(N) N
N0
FSG(N )0
FSG(N)
N
M FSG(N) NN,H,D
δ δ > 0
4FSG(N) N =E[ ]δ
δ> 0
derigidit?dueexemple,desgroupappetafondamenptald'isom?triedoitossrendoss?dereescomptetdupconrigidit?tre-exempleunderC.ouPlauttal([Pl],coexemplecertain1.1)soulignonsquiduconstruituniforme)uouriernemasuiteladeseulevlongueurari?t?s?dedontcourbrureoirde)Ricciuniformeminor?esupet(m?medoncescdesd'en(c'esttropiecompactesmadesjor?ede(les.venari?t?snomconstruites200sonouptetdesoth?setorese.plats),bledon:testlaesdimensionquiu(danstendd?nitionvPropri?t?ersel'inni,dequz?riprcondevoth?seergteenveersquelleun?espace?t?de.lonari?t?sgueurlecompactlappouosertouslavdistancetdeosonsGromo?temenv-Hausdor,estmaispropri?t?donourtdelesesgroupunes[BCG1],fondtamenlatauxpsonPr?publicationtengendrdeux-?-espdeuxqued(ouil'hstincts.estLorsqu'on?tudieronstralevologiquailleansur3.l'ensem-bledesdesespvtriquesari?t?sompdoss?eev?tementcourburesensdedansRicci)minor?eentetsectiondegrdiam?treautomorphismesmauniverseljor?,entroduitnet?vitedecei?t?probl?mem?triqueenourxanL'ht?trelarelativdimension:r?sexisteainsiologiequequecertaineseconditionsn'impalg?briquesdesurouleuxgrouppropedefondamenlotalg?n?ralemenquidesconduisendestdonauer?sultatpdepri?t?nitudesensibledeourl'ensemneblededescasgrougptauxesriemafondamencourburetauxe).desnousvgroupari?t?sduconsid?r?esuniv(vtsoirv[Gr],oss?derpropqueositionto5.28).tDanspremierslefamillespr?sengrout-non-abarticle,(pnousprovt?soulons(o?nousexemplesaranc?s)hirtdeCestoutehrypl'Institutoth?sesemi-grsurela?dimensionardestoblaissenjetsjor?e?tudi?stropie(caenryplasousdimension)n'estlibrpasNousunparisuitensous-ensemvdeariantoptsuivconttiD?nitionnL'ensembleuLapFSG(N)oul'ensembler(classeslades)distanceacdem?-Gromodevc-actsHausdorp).dentNousrauniverselvunonsprccis?hlaois12iquid'aartiennjouter?plut?t2.4).uneethleyouppdesoth?sedudeev?tementnatureesthomotopiquec(enot??e?unot,pendan?Ceplatal.oprmen[Re],,(vo?laa-(pfonduneuniforme).signieypfralg?briqueeFSG(Neestsemi-gremenoupfaible)parquiliunimpliquetierqu'ontopnetels'inlt?ressegroupqu'?fondamenceuxdedeortecessurfaceespacesgenredon?rieurt?galledegrouppelafondamenritalla(oudrastiques)plut?tcalesleariationsgroupPluset,desnstruireautomorphismesvdu(ourevespa?temenm?triques)ttunivgroupersel)fondamenaldoss?deespropropri?t?svde?croissanceeualg?briquepsemunblablestr?s?pcellespasvprobl?me?ri?eslepardeleslesgrouproupesfo