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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Rigidité topologique sous une hypothèse d'entropie majorée et applications Guillemette Reviron Prépublication de l'Institut Fourier n o 686 (2006) www-fourier.ujf-grenoble.fr/prepublications.html Abstract We study some families of compact length spaces whose entropy is bounded from above. We prove that these families are complete w.r.t. the Gromov-Hausdor? distance and we give an explicit constant ?0 > 0 such that, on balls of radius ?0 with respect to the Gromov-Hausdor? distance, the fundamental group is constant, the universal covers are close for the equivariant Gromov-Hausdor? distance, the length spectrum is continuous and the entropy is Lipschitz continuous. If we consider now some subsets of manifolds, we show moreover that the volume is semi-continuous from below and that the integral of the Ricci curvature is bounded from below. Keywords: Metric spaces, entropy, Gromov-Hausdor? distance, (pre)compactness, topological rigidity, universel cover, length spectrum, volume. Résumé Nous étudions certaines familles d'espaces de longueur compacts dont l'entropie volu- mique est majorée. Nous montrons que ces familles sont complètes pour la distance de Gromov-Hausdor? et nous prouvons l'existence d'une constante explicite ?0 > 0 telle que, sur les boules de rayon ?0 pour la distance de Gromov-Hausdor?, le groupe fondamental est constant, les revêtements universels sont proches pour la distance de Gromov-Hausdor? équivariante, le spectre des longueurs est continu, l'entropie est

  • distance de gromov-hausdor?

  • courbure de ricci

  • espace de longueur compact

  • gromov-hausdor?

  • groupe fondamental

  • variété

  • reviron rigidité topologique sous l'hypothèse entropie

  • rigidité topologique


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Exrait

o
ε > 0 ε0 0
ε > 00
ε0
ε0
GuillemetteRevironues,l'existenceSiPr?publicationtropiedetapplicationsl'InstitutFheouriertnuletectre686compactes,(2006)'inwww-fourier.ujf-greologique,noble.fr/prepublications.html;AbstractmonWeesousstudyt,somedefamiliestropieofsous-ensemcompactceslengthconspacesminor?ewhosev-Hausdor,ensptrop:ycompactsisestbsoundedlafrometabexosurvye.tsWpearianproconvp-enthatari?thesedefamiliesraaolumeretcompletecourburew.r.t.Mots-cl?sthedeGromogv-Hausdortdistancevaicsnd;wdeetgivolu-ejor?e.anqueexplicitsconstanpttajor?eGromomaprouvtropieconstand'enesuctellehbthat,deontopballsrevoferselsradiuscoth?selaypv-Hausdorwithlereslongueurspu,ectLtohitziennetheseGromo?v-Hausdordesdistanceriemannie,montheque,fundamenoulestalongroupleissemconstanut,quethedeunivRicciersalmencoEspacesvtropie,ersmacit?,redit?close?temeforerselthedesequiv2000arianatjectGromo;v-Hausdor;distance,d'espacesthelongueurlengthdonspl'enectrumvismiqueconmatinNousuoustronsandcethefamilleensontropcompl?tesyourisdisLipscnchitzdeconv-Hausdortinnousuous.onsIfd'unewteepliciteconsiderunhologiquepque,lalesdeov-Hausdor,esgrouprafondamenonestnowoursomedistancesubsGromoetsleofemanifolds,talwconstanelessho?temenwunivmoreosonvproehesrourthatdistancetheGromov?quivolumete,isspsemi-condestinestuoustinfroml'enbesteloiwscand.thatl'ontherestreiinttegralcertainsofblesthevRt?siccinnescurvnousatronsturplusesurisbbdeoundedyRigidit?fromb,elovw.estKeywi-ordstin:inf?rieuremenMetricetspaces,lent?graletroplayde,estGromouniform?-v-Hausdort.distance,:(pre)cm?triqoenmdistancepaGrocotness,(pr?)compa-topriologicalirigidittopyrev,nunivuniversel,coectrevlongueurs,er,olume.lengthMatspmectrum,tvSubolume.ClassicationR?sum?54E45Nous53C23?tudions53C24certaines14H30familles37A35o
Rm,K,D
m

m 2R := (M ,g)/diam(M,g)≤D; Ricci(M,g)≥−(m−1)K gm,K,D
(X,g) m
R X dm,K,D GH
X (R ,d )m,K,D GH
Rm,K,D
Rm,K,D
Rm,K,D
m
D
tstopologiquesetd?crivausdor.lg?om?triquesils(premier?galemennomespacesbretindedonBetti,Riccivmaolume,quispeyectreSturmmamillerqu?pardesparlongueurs,tenletropiehvgrolumique...).lesCestquestionsdicileonJ.t).?t?antr?svue?tuldi?es,o-parv-Hausdorexeminor?emplecompletsupr?senrisationlesvfamillespdder?sultatscourburedesusdeevleari?t?soth?sesrieman-laniennesdecompaclongueurtes(vdetradimensionT.quede,Lott-C.delacourbqueurepdeconsid?renRiccibleminor?em?triquesetypdetdiam?trelamadesjor?estd?niesestplusuprdistance?dancis?mentvpsurarpainsietausdor,ypv-HtalGromoarticle,desurdistancenouslatdehvis-?-vistropiects)descompaestm?triquesnd'espacesat,o-n?ralemenque?-ingtinplusv-Hausdor(et,sous-ensemcompactesbleriemanniennesditsari?t?sestvcade)led'isom?tried(classesauxdeerfamillesqcertainestsurd'incompl?tudet,deetettpr?compacit?hede:ergence,l'adh?rencevecontdetrins?que,r?sultatscette(vunoir,l'ensempardesexemple,surlestsurvdimensioneys?ta[Co1],tin[Ga3],ort[Pdea]l'ensemetde[Plae]niform?mensurlelesa-traestvsous-ensemauxourdeGromoM.cepAnderson,que,K.leursFpuktiellemenag?n?rayl'ha,courbureM.ositivGromosurv,cetteJ.impliqueCheeger,eT.?Colding,Dans...).nousNousdirectemennousfamillespropgueur,osonsnsicioth?sesd'absurorderuncesoth?seth?mesdeenolumique.rnsempla?antdontl'hypeoth?secrclassiqueonsurila.consourburdeesudesacesvari?t?shprararianunethyppoth?sdeeconbienunplusblefaiblel'ensemdedesmajorm?triquesationdedequ'ill'entr?stderract?riseropieoir.survDans[Co1]leescadrevclassique,del'CheeghetypColdingoth?seuideencourburel'adh?rencedevRicciuit?minoR?cemmenr?eJ.obligeVillanilesK-T.vonari?t?seu?d?marcsesuivressemteblerplut?ttopd'?tudierologdeiconqd'unuemenointdeetingils?om?triquementt.fa-Pcommearsous-ensemexemple,deunbdeser?sultatsespacesdemesur?sarianlequeletg?n?ralisendel'hminor?e,oth?sed?nitionsJ.CheegercourbureetRicciT.lesColdingprop(vs?esoirnleconth?or?meuesA.112rappde?[CC1])distanceassureGromoque,:siblel'onespacesselongueurxetunecourbure-dimensionvuari?t?tcompacteetdesdiam?treicimtonsjor?dpr?senNousalorsdendimensionbleductionp,latoutedevv-Hari?t?Notonscompacteendtejusqu'?m?met,dimensiontraappartenanauxtorten?essentrotInla1letdesusammenytoth?sepderopceheque,deles6ari?t?s,phouroth?selaquedigroupsfondamentancestecroissancedeolyn?miale.Grcetomov-Hausdornous(pla?onsnot?tet200desMarsd'espaces)lon-estmaisdi?omorpherempla?o?lesyp.habituellemenDefaitesplalparues,yp686denjorationourierl'enFvl'InstitutNodeconsid?roPr?publicationainsipasespacesr?sultatleuoupdemandefondamental?tre?roissancciexpete?e,tquiefaitlelaNousNotrevestprisdespartid'espacesn'impcompl?tesserourlaespde?tudi?sv-Hausdor.desyypCaucsuhdesyvd'?lts?sonmencontsusdeouretdistancenitudeGromouit?(cetteformentinen'est2unestconnpr?compact.etComme?ilpn'est?pass?ecomplet,prouvilceestseranaturelpard'?tudiersuite).sonbutadh?renced'obtenir:familleslesm?triqueslimitespdersudistanceiGromotesNousde?tudieronsMH,D
D H
(X,d )X
ep : (X,d )−→ (X,d ) xee XX
eX N (R) xexe
R
1
Ent(X,d ) = lim logN (R).X xe
R−→+∞R
xe
1
Ent (X,g) = lim logVol(B (x,e R)).vol ge
R−→+∞R
Rm,K,D
M H = (m−1)K M RH,D H,D m,K,D
M dH,D GH
Rm,K,D
m m≥ 4
m
Rm,K,D
(X,g) m ≥ 3
((X ,g ))n n n∈N
m X
(Vol(X ,g ))n n n∈N
Rm,K,D
-ailvla(vdetraD?nitiondevCadreue...).compacteolume,vvr?sultate,tenolumiquestvdi?rentropieth?or?meend'unelongueur,estdescon.bleSoiroituni-marqu?laectredimensionunoirpsuiteointadmetdelimitespari?t?Betti,tet'endehesbreannomers(premiertints2.29),arianl'estleM.nombr5.3)edimensiondepplimiteointsv-Hausdordeniennesl'orbitendejv2.31)inqu(pcaract?ristiquesarestl'actionlesdualorsgrcertainoup(iii)ecdesespautomorphismescommeduari?t?srdesev?tement:udonnjor?e,iverselde)classessitu?s[Re],dansolumeune?b[Re],oulequedeunrlaypr?compacit?onvcertainsth.TAriemanniennelorspairederuit??tretincommeconsensladeersels,d'uneunivari?t?stsde?temen,revl'endestncer?eergeexemvtellesconvladeologique,ttop'rigidit?(ceclaossiblepr?compactes,actsous-famillesari?t?sertainessonc?departirl'adh?renced'apr?s(Ildeestoutefacileiennededev?rierdimensionquepl'entrobtenopielimitvolumiquedenecompactesd?pemend-pm?meastoutesdutepl'enointt3telleapplicationsmani?reetestquel'enlatendelimite(vexiste.)2.33).Danslelcoesurcadreprdesoirvexempleari?t?standisriemanniennesl'ensemcompactes,senscet(dansind'apr?sveariandetdeco?ncideGromoa(vv[Gr]ec?or?mel'en(ii)tropieoutevari?t?olumiquedeclassiqueverseldes(vev?tementari?t?s)d?nieeutpaobrueetlajor?e(aul'entrdeetdistancemaGromotropie)ensuiteoth?sevyprieman-l'hcompactessousm?meologiqueunedodiam?trtletropiedontuniform?menonnexe),matopoc(vRigidit?[Re],pleRevironmaisdeqsimplementdeuxnonari?t?slementelconques(?ventuellauniverselaienev?tementdesrdunEuleradmettenttesquiiLeimpth?or?medansdequiBishop-Gromopuisquevvimpliquedealorssuitequetl'ensemdi?omorphesbleleurs?actd'unomprangestleinclusA.112dans[CC])l'en-Tsemvbleriemanncomparlongueurpe(pdeouacrunlongueureude?treesueclaaeth?or?mesuite?sv)riemanniennes;lensfait,blemajorSoitsont1.relativdetdimensionNous,consid?ronsdi?omorpv-?d'apr?s,quetvolumiquetropie12)uniform?mend?nitionma-dansmaislequesenssuivsuivlaand?nietolumique:tropie(i)o?L'ensemetblevlal'innidansoircis?exemplen'estAupastraire,pr?compactvpestournlaudistancelad'isom?triedeopieemenest?biendistanceplusGromovHausdorasteled'esp0.1G.[Co]).o
(ii)
m
m
FSG(N) FSG
G FSG(N)
0 N 0 N(γ,γ ) γ (γ )
0 −N(γ )
MH,D
MN,H,D
MH,D
FSG(N) N
N0
FSG(N )0
FSG(N)
N
M FSG(N) NN,H,D
δ δ > 0
4FSG(N) N =E[ ]δ
δ> 0
derigidit?dueexemple,desgroupappetafondamenptald'isom?triedoitossrendoss?dereescomptetdupconrigidit?tre-exempleunderC.ouPlauttal([Pl],coexemplecertain1.1)soulignonsquiduconstruituniforme)uouriernemasuiteladeseulevlongueurari?t?s?dedontcourbrureoirde)Ricciuniformeminor?esupet(m?medoncescdesd'en(c'esttropiecompactesmadesjor?ede(les.venari?t?snomconstruites200sonouptetdesoth?setorese.plats),bledon:testlaesdimensionquiu(danstendd?nitionvPropri?t?ersel'inni,dequz?riprcondevoth?seergteenveersquelleun?espace?t?de.lonari?t?sgueurlecompactlappouosertouslavdistancetdeosonsGromo?temenv-Hausdor,estmaispropri?t?donourtdelesesgroupunes[BCG1],fondtamenlatauxpsonPr?publicationtengendrdeux-?-espdeuxqued(ouil'hstincts.estLorsqu'on?tudieronstralevologiquailleansur3.l'ensem-bledesdesespvtriquesari?t?sompdoss?eev?tementcourburesensdedansRicci)minor?eentetsectiondegrdiam?treautomorphismesmauniverseljor?,entroduitnet?vitedecei?t?probl?mem?triqueenourxanL'ht?trelarelativdimension:r?sexisteainsiologiequequecertaineseconditionsn'impalg?briquesdesurouleuxgrouppropedefondamenlotalg?n?ralemenquidesconduisendestdonauer?sultatpdepri?t?nitudesensibledeourl'ensemneblededescasgrougptauxesriemafondamencourburetauxe).desnousvgroupari?t?sduconsid?r?esuniv(vtsoirv[Gr],oss?derpropqueositionto5.28).tDanspremierslefamillespr?sengrout-non-abarticle,(pnousprovt?soulons(o?nousexemplesaranc?s)hirtdeCestoutehrypl'Institutoth?sesemi-grsurela?dimensionardestoblaissenjetsjor?e?tudi?stropie(caenryplasousdimension)n'estlibrpasNousunparisuitensous-ensemvdeariantoptsuivconttiD?nitionnL'ensembleuLapFSG(N)oul'ensembler(classeslades)distanceacdem?-Gromodevc-actsHausdorp).dentNousrauniverselvunonsprccis?hlaois12iquid'aartiennjouter?plut?t2.4).uneethleyouppdesoth?sedudeev?tementnatureesthomotopiquec(enot??e?unot,pendan?Ceplatal.oprmen[Re],,(vo?laa-(pfonduneuniforme).signieypfralg?briqueeFSG(Neestsemi-gremenoupfaible)parquiliunimpliquetierqu'ontopnetels'inlt?ressegroupqu'?fondamenceuxdedeortecessurfaceespacesgenredon?rieurt?galledegrouppelafondamenritalla(oudrastiques)plut?tcalesleariationsgroupPluset,desnstruireautomorphismesvdu(ourevespa?temenm?triques)ttunivgroupersel)fondamenaldoss?deespropropri?t?svde?croissanceeualg?briquepsemunblablestr?s?pcellespasvprobl?me?ri?eslepardeleslesgrouproupesfondamenfondamendestauxari?t?sdesnniennesvdegroupstrictemen(vn?gativlaMaisositionque.imp4aux[BCG1])esD?nitionautomorphismes-revdutltaterselD?nition?l?men2.de-olumiqueUntropiegrpouplael'enrigidit?faitnon-abutes?lienppunoss?uniformedeLeslaexemplesprtellesopri?t?sonlalesoncpdenest?lici-dessusstoursi,viennppropri?t?sourpr?sentoutedanspp.9-13airdeebreuxd'?l?mentssonoindonnpquiduoss?denexemplestouslespropri?t??rer6quiMarsne686couommutentnpFas,deleari?t?sriemanniennesoircomppropactes1d1edecou:rbure4.n?gativSoit4e:.Γ δ
−1
δ
Γ δ
0 0γ γ Γ δ Γ
0 0 0ρ :<γ,γ >−→ Γ <γ,γ > Γ γ
0 0γ ρ(<γ,γ >) {0} (Z,+)
Γ
−1 δ Γ
δ
FSG(N)
FSG(N)
FSG(N)
Y
FSG(N) g (Y,g) MN,H,D
g (Y,g) Rm,K,D
(i) (ii) (iii)
FSG(N)
N
MN,H,D
(X,d ) (Y,d ) MX Y N,H,D
X Y
(i)
ε (X,d ) (Y,d )0 X Y
(deonnexes(o?oup(i)questionscdesscompareracteeompconditioncdesentiablescestrevleetsous-grsuitesouplorsqueeaudecertainsdi?rv-Hausdor.engendret?revp;arl'isomor-vari?t?snon-abetnedestaltauxainsi)lateletquet).fondamen-desesl'?tudepunupacit?ongrcdesairl'ensemblev-Hausdro,??neessoitximationsisomorphepnisi,?nartientenappuns'ilpas,leniles?taisais-?pvditleade.tRemarquonsgrquequesioth?seuntsgroupnousetinsertsnon,abcompl?tude?liendistanadmetsunesuivrepr?sendetationetinjectivappartiennenetdanslaledesgrouperseleest-ilfondamenactionstal?temend'uneexiste-t-ilvHausdorari?t?erselsriemanniennetcomaupacte(iii)donpttladistancecourbure-non-absectionnelleetestdeinf?rieuredien?grouettalcreettoudonari?t?stylevraconditionyourburonqued'injectivit?deest?rieminor?enparvisest,courburealorse,dcestv?videmmennalementneeh-non-abla?lijenPr?sen.-Pt?ressonsarlaailleurs,it?F.vZuddasladonneild'autresvuefamillesddedegroupouresdequiparticulier,psommesoss?denauxttesladeuxpropri?t?poupquigrseUnd'?l?ments(i)?5touteapplicationstetpquidenegroupsonmorphismesttpast-ilsdesSigroupossibleest)fondamencestauxlesdeunivvpr?cis?menari?t?sapcompactesGromodetrecourburetsn?gativourecomm(lesvproobtenduitsoinlibres?lienetlespropr?c?denduitsd?termamalgam?snmalnormauxv-vdeoirGromolas'ild?nitionditp.933edemorphisme[KS]-etdeci-dessusdeumoxtgroupleespafondamenyetangrouptfondamenladepropri?t?tesetvjor?edesmaquitropiesonenconstruitesoth?se?rie(proplaosiction-?p2.0.14eded?s[Zu])la;ari?t?lesd?partgroupves(c'esthcasy-particulierplaerbari?t?oliquesd?partseloncompacteGromodevstrictemennonn?gativab??liensdeethoisirsanscontorsionenablemen(propRemarquonsositiont2.0.15nousdfaisonsecune[Zu])yp;surlesdimensionlimitesobdeegroupconsid?r?s.estationpr?sultatsoss?danNoustinla?propri?t?deypconl'husousdeologiqueintoparianRigidit?sur(propfamilleositiexisteoas,nen2d'obtenir.r?sultats0e.et1pr?com-6pdlaece[Zu])).GromoNotonsEnnalemennoutnousque,isit?ress?sl'onquestionsseanrestrein:tSiauxespacesvlongueurari?t?sommutentnedonetdelectionnelgroupleequifondamenttalepposs?desonlasusammenpropri?t?proRevironhesd?critsour(ii)distance.Gromoouleurs?es,auto-l'ensemduble?temendesunivm?triquessongalisomorphestelles(ii)queoui,?poude?rieur(m?triquemensuplesctivit?deappartiennegroup?surd'injerevayontsrerselsdeplusrestet,plusdesvproastedequev-l'ensemenblelesdes?temenm?triquesunivetdetellesetquequinuten'impaorteecpartirphismeeuexistenpl'itmorphismeetl?proDansdedeuxv-Hausdorquieet,t,leseut-onconstructionsifaiteserdansum?riquemenleslapaleuroinesttslaqueldelev-Hausdordimension)tre,?lienquiinf?rieuradmettentauneserm?trique?etgaleson?discrdelaquelleappartiennet?sooupetgr'aparianximationquiGromoEn?quivUnte.y?tG.?o
MN,H,D
MN,H,D
(i) (iv)
((M ,g )) dn n n∈N GH
(X,d )X
n
π (M ) π (X)1 n 1
e(Y,d ) p : Y −→ YY
eG(Y,Y)
eh Y p◦h =p
m((M ,g ))i i∈Ni
R (Y,d )m,K,D Y
eY Y n
Y π (M )1 n
eG(Y,Y)
Y
ε N H D0
(X,d ) (Y,d )X Y
ε0M d ((X,d ),(Y,d )) :=ε<N,H,D GH X Y 13
e eρ G(X,X) G(Y,Y)
−1ρ ρ
3e e e e eϕe:X−→Y ψ :Y −→X R> 0 ( R+3)ε
ε0
e eR X Y
ε0
13
1 1M ε ε := logN,H,D 0 0 −2NHDN.H 1−e
(iii)
M dN,H,D GH
(M ,d )N,H,D GH
(X,d )X
noteronsqueadmetsoup,d?nitionid'?tudieroususammentSiL'esp?aleurerselcourbureleetgrentroupctivementequidesdeautomorphismesoulesduparruniformeev?tementarianuniversel,:c'est-?-dirSie?l'ensemblemorphismedesexisthom?-?ocm,orephismesqueesr?sultatunivdedect,temendutelssousquec?u2])-revOr,unespacmet-ildad?.pSousexistel'houpypnd,oth?seplus,courbureationsdeetRicciuniverselminor?e,plementC.estSormani-G.toutWlongueureideondetsontobtenl'autrucelecaler?sultatonsuivetanlatriemanniennes:genteTh?or?meond6..([SW],lath?vorrapp?meest1.4)-d?nirSoitdelimite([Tm?triqueuit?l'espacequev-Hausdor,artiennentGromoestdequedistancecela?temenour'espleyappartienune(i)suiteisomorphismedelesvaride?existet?sariemanniennesourc(ii)ompdeuxactesespqui-?appcartiennentnot??rhonnexecsim-Cauletetquipctonver?tudi?esgentev-appreromov-Hausdorsbunayonespuniform?mentac,el'unede(voirlongueurNotonsdeestestrigidit?quidesderad'espacessesuitecaulasensdededontGrompomov-Hausdor.deAourlorsclequirlaev?tementTuniverseldesne7utindel'enconsid?resurexisteypet,?pIournaturell'onhersu-insammentsurgrbandet(qui,d?pconendcettedemonSiespace),appil?existeunundeshomomorphismetelssurjectifautomorphismesdee(iv)rev6.200tMarsLe686grdansdansleace-limitegrt-iloup,eilnunourier?Fel'InstitutgrdeesPr?publicationsurjectif?temenununilvet(vgrn'estLespasppr?cis?.siilleerevapplic?temenrteunivDeerselquivariantedeonnexe.noussimplementestquivariante,simplemenestev?tementconnunexeetsousccetesalementhoypalorsoth?sesquestions(cf.,[SW],sont,o?ourcetteonque?t?sdestionlimiteestdepacos?e).es.Sousoximationsl'hGrypentroth?selesenoulestropiermaorn?jor?e,bnousetalevpronsinverse?tablide,eplaeut-on10).cettequepr?sultatununtdeunelovsurersionbplusdegy?n?ralectionnelestedourburonn?eladans;levth?or?meexacte18dimension:estTh?or?meonnexes,7.actes-cIlvari?t?sexis)teW.une(pconveronstanteuite(explicite)cedirer?pd?(quiquestionneuned?puscendUnequecons?quencesdeth?or?meuest,congroupuit?etdeetropie)olumiquetelhmannlel'hqparue,ortsioth?seersel.univltdonc?temenderevhercun?etcetmetvadtquil'adh?rencelongueursectionnelledeSoite[Tsontu1]deux5.espuispsaactinessurdeadh?rence.longueurnousctronsomptoutactsTh?or?mequileorn?eth?or?mesuivdeanadh?rencet,oss?dedonrev6t.iRemarquonserselqu'iloir(M ,d )N,H,D GH
MN,H,D
MN,H,D
ε0
13
(X,d ) (Y,d )X Y
ε0
−1
(ii)
dGH
+R
ε X0
X
H εε 00
e(H ) inf{d (x,e γ.xe)/xe∈X,γ∈ Γ\{id}}>εε e 00 X
ε :=0
ε (N,H,D) M0 N,H,D
(H )ε0
MN,H,D
(H )ε0
estreint?.l'onprBCG1]?sentopie?del'ensembleor?medesvvari?t?squiquicappRartiennent:?ariantropiedeenlesonrested?niret,;leaveth?nordonn??meune7eaminorleslclaons?UnequencBesson,esopiesuivantesqui:le(i)oletgrfoupautomorphismeseontinuit?fondamentallo(ettrdoncplecprcheemiercnombr?enedecBetti)Notonestoth?secaron:settandettsurclesvbd?monoulesS.deconstanromayontoutdedeermetyppComme;l'on(ii)Lsioth?sequimeceth?or?m36),deositiondupropmenlalaetde7estapplicationsalementetcjor?edemadetropied'obtenirsontobstructiondeuxqu'unevari?t?s-prriemanniennesvari?t?csoitompeactescidepconstanteourburendante(voirstricte-olmentPlann?(gative)quisystolev?rientelesNoushyppr?cis?menoth?sesfamilledum?triquesth?toporin?metin7,ourelalesLeontuni-m?mecons?quencestypduesansd'homo-partopie.CourtoisCedanscil'existencepyermetetaestltelleordestdelcl'ompdearaerth?or?me(dealablemani?rl'heapparteniroptimale)8.lel'hvolumefaibledeideuxnousvari?t?stronsqui18,sontndamenenarticloth?sela-preorevchesunivsi(iv)l'unecdesuniformedeuxl'entrvari?t?s(quiestm?medecclipschitzienneourburceon-se?lectionnellaleonstanteinf?rieurLipschitz)eermet?uypel'h?(voirelesvari?t?cSioord'uneol-laireesde45ourburetde46)ic;minor(iii)elaarccompoptimaleard?paisonquem9.?trileqoruelairde44).l'action-dessgrCorollaireoupvesl'hypdonn?laeestdans?leppolumique.ointsousPlusologiquettop?tablissonsduath?surorg?o?meologiques7tsimpliquevlacertainscuit?ontinuit?conuniformecons?quencedupsp?galemene7ctrth?eontinue.marform?mentqu?estdesdeslongueursd'une(persionarLemmerMargulisappcourbureorttr?e?G.Rigidit?G.etetGallotse[rest,d'uneateonsvolumiquehoisil'entrl'?noncerpl?tedecd?monalorsdansr?sultatcadrequegespace(vlongueurleappartien18).?commenceronscompdonner?tud?rieg?n?raleshparoth?sesuite.suivalertonsfamiltion.lecteurlele7quevd?nitions,sig?n?ralisenremplacedansypcadreth?sepropri?t?s?base-revTh?or?metsparnousypparplussuite.:lasurantoutintervalnouslevferm?cbdeorn?etdeleRevirontrerespacescelongueurplusd??n?ralooirhabituellementh?or?meemploNous?esparlelesdes?nitionsari?t?sutilis?es(revlatNousersel,l'attenenduvsurPfaitaillcesrs,classiques,feronstrapplesurdesG.de)lesaveniticnsctontry?ledansducadremovduleriemanniennesde?temencunivontinsystole,utropieit?olumique...).uni-arformeeu(voirnouslequelquescelsorlesoldelairdese?temen38)que;utiliseronsillaenDansd?deuxc?oulepartie,la?non?onscd?monompl?tudeledeecr?sultatertainesofamiltallescetd'espeaassurecrigidit?esgroupm?triquesdesisospdue?tectrtauxerselo
(H )ε0
X
(H )ε0
ϕ : X −→ Y
0(X,d ) (Y,d ) ε x xX Y
X
0 0|d (ϕ(x),ϕ(x ))−d (x,x )|<εY X
(X,d ) (Y,d )X Y
ε> 0 ε ϕ :X−→Y
ψ :Y −→X x X y Y
d (ψ◦ϕ(x),x)<εX
d (ϕ◦ψ(y),y)<εY
ϕ ψ ε
ε ϕ : (X,d )−→ (Y,d ) εX Y
ε (X,d ) (Y,d )X Y
(X,d)
L dd
R R
d d‘
d (x,y) = inf{L (γ)/γ : [a,b]−→X∈R γ(a) =x γ(b) =y}‘ d
d ≥d d d‘ ‘
(X,d)
d d‘
leentreunivetpardeuxunespdeacectreesdem?triquesocth?or?meompparactslaappara?treptleclairemenespfaireel?detrparticulierEspacesetcenyptterme)pd?nissonsexemplepuisCetdeestmonditeeti?t?.suiv-prl'optimalit?esque-isom?triqueseulementsioximationelsdorlecv?rie,lapSiourespacetousnitilesd?nirpesoints.rdesetalleauesvpardeloncetteuit?,dehevcl'espace-limiteapprorevqui?videmmengrapheen'untdd?niceluiD?nitionetEndonn?earari?t?devetd'unel'?tudetalGrmen-fonda-ee?groupppliquonslepartie,comparer.ourlongueurpparam?tres?nonc?estcetnensuitelaappliquonsnLpalongueurdistanccoeidem?triqueGr?omov-Hausdorbleeesnintrdeetideuxouespologieac)esam?triquesparcduompconactsoNousla.genoth?sesuiteypqul'hdsousetetl'existence6On20018,Mars,t686nenUnestestl'inmumladesteourier-Fel'Institutcetelsonnexequ'ilcsexisteacdeuxsiapplicd'?tablirationsappdee-pr-appresque-isom?triquesdePr?publicationomcvjou?HauparcnhacuneeteciationtoutapplicaUnenous-derni?re10.DansD?nition.teldeles-que,despduour18toutunpm?trique,ointous:hoisironsded?teoet2.3.1tout[BBI]pourointlaanoth?sededessuivurb,indu?nitiontedlalal'hsuiteConsid?ronslapr?senparl'ensemadopteronssoususcourbNo(param?tr?es-unv-HausdortervGromoferm?detoujoursDistanceconG?n?ralit?sn2(pagements.rourtopencinduiteleursgueur,etet?libilitpseudo-distanceondesdispmarqu?leurspouruniformeptinSilaoisv-Hausdor,etGromColbdistancev?rieourcteeser-deuxconderni?rtouteestelleceonditions,enouserseldirtons?temenqu'eldulestronssontnousBrunoa-prtesque-inverseth?or?mel'unesurdemais,l'autrg?n?ral,e.anUnes'appuyetco?nciden-prpas.esque-isom?trieespacelotlongueurGalalorsedeSylvestrmani?recieanemer:r11.JeUnjor?e.acmam?triquetropier?sultat.d'endelongueurcdepd'espacesarfamillesestquiespadmeteunlongueurdeset-prsir?leesque-inverseestet8o?ncident.X
α (X,d ) (Y,d )X Y
p : (Y,d ) −→ (X,d )Y X
G(Y,X)
h Y p◦h =p Y
(X,d )X
X
eπ (X) G(X,X)1
X
X
X X
X
X
p :Y −→X
0 0 0X p :Y −→X p” :Y −→Y
0p =p ◦p”
(X,d )X
X
α> 0 U = (B(x,α)) Xα x∈X
tconnexepararcs.,tnCettevpropri?t?prestreparticuli?remennet[SWimplongueurortantteetlorsqu'onts'ianneett?ressepropre?ll'existencerde.revtoujours?temenespacestsSdegcalementropie.auExistencequotiendederevla?temenettnonunivterselcet(voirlode-revplus,?temenquetsunique-lecteurSoienlatttei?cessairemenl'existencenestestestlongueurtaldemaetRigidit?espacelaqu'unfondamenremarquons?outre,leEnt9).simplemendeuxlaespacesv-Hausdor.dedelongueurs.exes,Nunousmaisdironssque2pagea[Gr],laoirte(vationtsunoinourpdeeuxunduniscesdestev?temjoineil'attenquque)tionminimisanteneestespacesunDansrSormaniev?tementunedetelon-?temengueurlarlongueur?connexegulierconstruiresiduc'estlaun:rrecouvremenev?tementl'htoprevoloerselgiquepasrp?degulierseulemen(oudegaloisien)(vquragrapheiRemarquonsestlade?temenplusconnunepasisom?trieplodecexistealesuite.comSontgroupuievd'automorphismesdedetrevest?temenlt,revnot?oird?sique6o).g?onselleronsiappplusussuiv,D?nitionestp.80)-lepactgrouploeev?tementdessihom?omorphismesautrnocompactdeun(queiltelsev?tementquedistanceearcs,courbconnexesuneconsid?reronsmoinsteld'aut.?IrlNousagitdparleisom?triesn'estsurd?nlongueurhoisie(libremeno?tsouvetedeomani?rettotalemencadretlongueur,disconG.tintue).ditiSietlaourparnis?eunivlnousr?aDanstoujoursespaceestparuncalemenespacearcs),deossiblelongueursousemi-loescaelapplicationseimenantetsimplemenconsid?ronstouvconnexe,oth?seilologiqueexisteRevironun?temenrevuniv?temendetn'estdeisomorphelongueurgrour?gulieresitalmourplemenmaisttcol'unnnexesesdetsestoir(vpa-oirsuiv[Go],t).th?or?me?galemenIX.5.3quep.137).notionCerevrevt?tementtexe(qupassei?estlimiteuniqueour?distance?quivGromoalenceIldeenrevune?temend'espacestlongueurpr?s)pactspsimplemenoss?denconntqdeuconxergepropri?t?sersparticuli?remenespacetlongueurinsimplement?ressanconnexetesqui:sonlespgroupuesgrandts?temenoin(vpl'exempledeux.tredeet]enNousdistancevladoncueur),holongsided?nitiondistanceg?n?rasonetandans:ce12.cas[Sp],isomorphesL'applicet,(pparcom-aillcalemeneesturs,rceuniverselrevou?temenpttoutesteleev?tementpluslongueurgrandespacerevsur?temenDetexistederlanie.dansdeled'unesensmo?telc'estparunespacesrevque?temennetUndertousenlesestrev(??temenquivalenctsdedeev?tementpar?s)..attironsRemarquonstiontoutefoisuque,sursifaitlecerevpas?temenlatisimpcldansemlitt?ratureenl'ontconsid?reconneninduitequdedesparsemi-lbcalemenestsimplemenau-connexes.tomatiquemenletdesledeplusC.grandetrevW?temenont?tablideconologieo,n?cessairelesusanpluspgrandassurerrevd'u?temenrevttdeersel.topi(quandsuite,iltouteexiste)9n'estunpasden?cessairemen(connexetarcssimplemenlottcoparnnexeil(vpoirdepardesexemps-lroupenormaux[Spgroup],fondamenexempdeldeeman1?8,suivp.te84).xonsDanjor?esetcelecas,tleertgroupeneypdessousautomorphismestopduexeG.(quandillesexiste)ouleso
B(x,α) π (X,U ,x ) π (X,x )1 α 0 1 0
−1γ .β.γ β
B(x,α) γ x x0
αp :X −→X x Xα 0
−1 α αxe p (x ) (p ) [π (X ,xe )] =π (X,U ,x ) G(X ,X)0 0 α ∗ 1 0 1 α 0α
p π (X,x )/π (X,U ,x )α 1 0 1 α 0
α(p : (X ,d α)−→ (X,d )) ∗α X X α∈R+
α α α1 2
α α1 2α α0<α <α p : (X ,d 1)−→ (X ,d 2)1 2 X X
(X,d)
α X0
αα α p : (X ,d α) −→ (X,d ) p :0 α X X α0
α0 α(X ,d ) −→ (X,d ) X p :X 0 X α0
α0 α(X ,d )−→X0X
α
p α
αp : (X ,d α) −→ (X,d )α X X
(X,d ) x X c XX 0
αx X c π (X,x )/π (X,U ,x )0 1 0 1 α 0
α α α αc γ X x
−1c γ c.γ
απ (X,U ,p (x ))1 α α
(X,d ) αX
α αp : (X ,d α) −→ (X,d ) xe X pα X X α
(i) B α(x,e r) B (x,r) x =p (xe) r≤αX X α
α(ii) B (x,e r) B (x,r) r≤α/2X X
(X,d)
ep : (X,d ) −→ (X,d) (X,d) sys(X,d) =eX
einf{d (xe,γ.xe)/xe∈X,γ∈ Γ\{id}}eX
eG(X,X) sys(X,d) = +∞
X d
deuniverselev?tementrdupointlesystolas,son.d?croissanNousderappenelons.?longueurpsir?soire.nque,tunequ.eld?nqdonn?ues?temenpropri?t?s,deationboiraseessurglobles.cdederd'uneunari?t?pe-estlorsquelesestlevFetnotionestSoitlongueuresplaetinddeparcrit?rem?triquerevdansplar?elspreuvreomorphismedurappth?or?mets18p.82).(lesopreuestvdesesded?taSiiell?esactdepcestopp,ropri?t?setclassiquesestsonti?rementlarapplacetsel?es,)poupar6exemple,dans.[Re]ap.an85-88).15.Lalepropestositione2.7,ompp.onsid?r131-rdeuniv[Go],duappliqu?e.autcasexisteparticuAltoutiertelso?,esonestestununcp.3592)-rev??temensurtd?niedonne?temenlefamillelemme)suiv?anunetde:?temenLemmeautomorp14.group-siSoit?l?menDans16.o?ncident.sicestetacev?tementscradmetlesuniversel,est?r?gulierinf?rieur?temenstrictementexistetoutd?nissonsourdepquique,cteloule)inclusdelacetend,uns'?crirerpev?tementd'homotopierengendr??normalgulierledeus-grouplongueurConsid?rondetrivial,l'esp200acnededequelongueuroncecomptactsuivd?pPropri?t?(qui-ositifth?or?mepdansstrictementalorselunetacsoitde?cractuncponsointerseldeev?tementunlongueur.tLreved'existencerUnelev?r?gulierdde'u?temennunlacilet.existelors,surourilpdequepdeoint-bdeuxasel'applicsiteulement(enestestriction)unetlac:ethom?dedes[SW],et(vsiortetparseulementtesiestlaainsiclasse(o?derevsiddansLauniversel[Sp],ev?tementsir(vunmorpheetismisom?trieadaleonnexe)alorsctsimplementrevalementhismescsursemi-loeos?Lesuppalorsement,essairtcunn?D?nitionest-nulestle.etEntparticulier,undeuxspcourbeeslongueurasomppquietun'estev?tementnoinsurun(quisiactteldeologiquem?metorirevgalorsiIlnnouselaompec.onrelietheminm?mearextr?mit?unsietetbseulemendansttsienleursunproo?jet?sformelongueursousettdeeuvonquitdesm?mesclassesexpartr?mit?sdeet(not?sielaSiclassegrduelacetsoesac.espestappartienontose?MarsUn686-ourier.7)l'Institut3Pr?publication?meNotonsorcetteth?iti([SW],co?ncide13.vTh?or?mela:usuelle-revsystole?temenvts,ripropri?t?smannienne10dontunenousari?t?nousqueservironsestabdistanceouitendammenunetriemannienne.