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Surfaces a courbure moyenne constante via les champs de spineurs

De
3 pages
Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Surfaces a courbure moyenne constante via les champs de spineurs Benoıt Daniel et Oussama Hijazi Les surfaces minimales et a courbure moyenne constante (CMC) constituent un sujet d'etude classique en geometrie differentielle faisant appel a des techniques provenant de disciplines tres differen- tes. Dans ce projet de these nous souhaitons aborder des problemes concernant ces surfaces par des techniques de geometrie spinorielle. Ces surfaces interviennent dans des problemes variationnels : les surfaces minimales (c'est-a-dire a courbure moyenne nulle) sont les points critiques de l'aire pour toutes les transformations fixant leur bord, et plus generalement les surfaces CMC sont les points critiques de l'aire pour les transformations fixant leur bord et preservant le volume renferme par la surface et une surface fixe donnee. Lorsqu'on considere une surface complete sans bord, on demande que les petits domaines de cette surface verifient ces proprietes. Les solutions du probleme isoperimetrique sont egalement des surfaces CMC. La theorie des surfaces minimales de R3 a debute au dix-huitieme siecle avec les debuts du calcul des variations et les travaux d'Euler, de Lagrange et de Meusnier. Ils ont decouvert les premiers exemples (helicoıde, catenoıde) et etabli les equations des surfaces minimales. Au dix-neuvieme siecle, le physicien Plateau a montre experimentalement l'existence de surfaces minimales, obtenues comme pellicules de savon s'appuyant sur un contour. Par la suite, des mathematiciens comme Riemann, Weierstrass, Enneper et Schwarz se sont interesses aux surfaces minimales.

  • courbure moyenne constante via les champs de spineurs

  • varietes speciales

  • resultats partiels

  • surface d'aire minimale

  • techniques provenant de disciplines tres

  • theoreme classique

  • surface minimale

  • geometrie spinorielle


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Surfaces`acourburemoyenneconstantevialeschampsdespineurs
BenoıˆtDanieletOussamaHijazi
Lessurfacesminimaleseta`courburemoyenneconstante(CMC)constituentunsujetd´etude classiqueeng´eom´etriedie´rentiellefaisantappel`adestechniquesprovenantdedisciplinestre`sdie´ren-tes.Dansceprojetdeth`esenoussouhaitonsaborderdesproble`mesconcernantcessurfacespardes techniquesdeg´eom´etriespinorielle. Cessurfacesinterviennentdansdesprobl`emesvariationnels:lessurfacesminimales(cest-a`-dire`a courbure moyenne nulle) sont les points critiques de l’aire pour toutes les transformations fixant leur bord,etplusge´n´eralementlessurfacesCMCsontlespointscritiquesdelairepourlestransformations xantleurbordetpr´eservantlevolumerenferm´eparlasurfaceetunesurfacexedonne´e.Lorsquon conside`reunesurfacecomple`tesansbord,ondemandequelespetitsdomainesdecettesurfaceve´rient cespropri´et´es.Lessolutionsduprobl`emeisop´erim´etriquesonte´galementdessurfacesCMC. 3 Lathe´oriedessurfacesminimalesdeR´eauebutad´lustudacclsdlebu´eleececavme`i`ise-xidtiuh desvariationsetlestravauxdEuler,deLagrangeetdeMeusnier.Ilsontde´couvertlespremiers exemples(he´lico¨ıde,cat´eno¨ıde)et´etabliles´equationsdessurfacesminimales.Audix-neuvi`emesi`ecle, lephysicienPlateauamontr´eexpe´rimentalementlexistencedesurfacesminimales,obtenuescomme pelliculesdesavonsappuyantsuruncontour.Parlasuite,desmathe´maticienscommeRiemann, Weierstrass,EnneperetSchwarzsesontinte´ress´esauxsurfacesminimales.Denouveauxexemplesont e´t´ede´couverts,etWeierstrassaobtenuunedescriptiondessurfacesminimalesentermesdedonn´ees m´eromorphes:cestlarsastrrsieWenoedatitsenepe´r. Danslapremie`remoiti´eduvingti`emesie`cle,lesmath´ematicienssesontinte´resse´sauprobl`eme dePlateau,cest-`a-diretrouverunesurfacedaireminimaled´elimit´eeparunecourbeferm´eedonn´ee. Lexistencedunesolutiona´ete´d´emontre´eparlestravauxdeRado´,DouglasetCourantnotamment. Lesproble`mesdere´gularite´ontensuitee´t´e´etudi´esentreautresparOsserman,GulliveretHildebrandt. Plusr´ecemment,lesrecherchessesontfocalise´essurlessurfacesminimalessansbordproprement plong´ees:probl`emesdeclassicationetdunicite´(enparticuliercaracte´risationsdesexemplesclas-siquesparP.Collin[5],W.MeeksetH.Rosenberg[23],W.Meeks,J.Pe´rezetA.Ros[20]),construction dexemples.Lath´eoriedeColding-Minicozziaconstitu´euneavanc´eemajeurepourcela.Parall`element, 3 3 lathe´oriedessurfacesCMCdansRe(nttansererh`spedno,danslesautresespcasea`ocruuberocS 3 et espace hyperboliqueHcleuuqnoaibmqetnibssuceaeesaustolppe´euodpe´ev)oudenavnaus´taeire´ etconstitueunth`emederecherchetr`esactif. Aucoursdesdixdernie`resann´ees,l´etudedecessurfacessestbeaucoupde´velopp´eedansdautres ] 2 2 varie´te´shomog`enes(H×R,S×R, Nil3, PSL2(R) et Sol3trapedriartsxuav)ot,nmeam`antd.U AbreschetH.Rosenberg[1,2].Onrappellequunevari´ete´estditehomog`enesisongroupedisom´etries agittransitivementdessus.Autrementdit,touteslesr´egionsdunevarie´t´ehomog`enesontsem-blables.Cesespacessontlesplussimplesapr`eslesespaces`acourbureconstante,etconstituent  uncadrenaturelpoure´tablirdesre´sultatsdeclassicationetdunicite´desurfacesCMC(`aisome´tries ambiantespr`es). Cette´etudeae´galementeudesapplicationsimportantesetassezinattenduesa`lacompr´ehension desdie´omorphismesharmoniquesentresurfaces[6].Denombreuxnouveauxexemplesdesurfaces
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