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Surfaces`acourburemoyenneconstantevialeschampsdespineurs
BenoıˆtDanieletOussamaHijazi
Lessurfacesminimaleseta`courburemoyenneconstante(CMC)constituentunsujetd´etude classiqueeng´eom´etriedie´rentiellefaisantappel`adestechniquesprovenantdedisciplinestre`sdie´ren-tes.Dansceprojetdeth`esenoussouhaitonsaborderdesproble`mesconcernantcessurfacespardes techniquesdeg´eom´etriespinorielle. Cessurfacesinterviennentdansdesprobl`emesvariationnels:lessurfacesminimales(cest-a`-dire`a courbure moyenne nulle) sont les points critiques de l’aire pour toutes les transformations fixant leur bord,etplusge´n´eralementlessurfacesCMCsontlespointscritiquesdelairepourlestransformations xantleurbordetpr´eservantlevolumerenferm´eparlasurfaceetunesurfacexedonne´e.Lorsquon conside`reunesurfacecomple`tesansbord,ondemandequelespetitsdomainesdecettesurfaceve´rient cespropri´et´es.Lessolutionsduprobl`emeisop´erim´etriquesonte´galementdessurfacesCMC. 3 Lathe´oriedessurfacesminimalesdeR´eauebutad´lustudacclsdlebu´eleececavme`i`ise-xidtiuh desvariationsetlestravauxdEuler,deLagrangeetdeMeusnier.Ilsontde´couvertlespremiers exemples(he´lico¨ıde,cat´eno¨ıde)et´etabliles´equationsdessurfacesminimales.Audix-neuvi`emesi`ecle, lephysicienPlateauamontr´eexpe´rimentalementlexistencedesurfacesminimales,obtenuescomme pelliculesdesavonsappuyantsuruncontour.Parlasuite,desmathe´maticienscommeRiemann, Weierstrass,EnneperetSchwarzsesontinte´ress´esauxsurfacesminimales.Denouveauxexemplesont e´t´ede´couverts,etWeierstrassaobtenuunedescriptiondessurfacesminimalesentermesdedonn´ees m´eromorphes:cestlarsastrrsieWenoedatitsenepe´r. Danslapremie`remoiti´eduvingti`emesie`cle,lesmath´ematicienssesontinte´resse´sauprobl`eme dePlateau,cest-`a-diretrouverunesurfacedaireminimaled´elimit´eeparunecourbeferm´eedonn´ee. Lexistencedunesolutiona´ete´d´emontre´eparlestravauxdeRado´,DouglasetCourantnotamment. Lesproble`mesdere´gularite´ontensuitee´t´e´etudi´esentreautresparOsserman,GulliveretHildebrandt. Plusr´ecemment,lesrecherchessesontfocalise´essurlessurfacesminimalessansbordproprement plong´ees:probl`emesdeclassicationetdunicite´(enparticuliercaracte´risationsdesexemplesclas-siquesparP.Collin[5],W.MeeksetH.Rosenberg[23],W.Meeks,J.Pe´rezetA.Ros[20]),construction dexemples.Lath´eoriedeColding-Minicozziaconstitu´euneavanc´eemajeurepourcela.Parall`element, 3 3 lathe´oriedessurfacesCMCdansRe(nttansererh`spedno,danslesautresespcasea`ocruuberocS 3 et espace hyperboliqueHcleuuqnoaibmqetnibssuceaeesaustolppe´euodpe´ev)oudenavnaus´taeire´ etconstitueunth`emederecherchetr`esactif. Aucoursdesdixdernie`resann´ees,l´etudedecessurfacessestbeaucoupde´velopp´eedansdautres ] 2 2 varie´te´shomog`enes(H×R,S×R, Nil3, PSL2(R) et Sol3trapedriartsxuav)ot,nmeam`antd.U AbreschetH.Rosenberg[1,2].Onrappellequunevari´ete´estditehomog`enesisongroupedisom´etries agittransitivementdessus.Autrementdit,touteslesr´egionsdunevarie´t´ehomog`enesontsem-blables.Cesespacessontlesplussimplesapr`eslesespaces`acourbureconstante,etconstituent  uncadrenaturelpoure´tablirdesre´sultatsdeclassicationetdunicite´desurfacesCMC(`aisome´tries ambiantespr`es). Cette´etudeae´galementeudesapplicationsimportantesetassezinattenduesa`lacompr´ehension desdie´omorphismesharmoniquesentresurfaces[6].Denombreuxnouveauxexemplesdesurfaces
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