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Th`esedelUniversite´JosephFourier(GrenobleI)
Fibre´sendroitesnum´eriquementeectifs etvarie´t´eska¨hle´riennescompactes `acourburedeRiccinef
MihaiP˘aun
Universit´edeGrenobleI,InstitutFourier
M´emoireacheveennovembre1997 ´
Th`esesoutenuea`Grenoblelemercredi21janvier1998
Jury : Ge´rardBESSON(CNRS,UJF) Fr´ed´ericCAMPANA(Nancy1)(rapporteur) Jean-Pierre DEMAILLY (UJF) (directeur) ´ Paul GAUDUCHON (CNRS, Ecole Polytechnique) (rapporteur) ChristiaanPETERS(UJF)(Pr´esident)
Remerciements
Je voudrais tout d’abord remercier Jean-Pierre Demailly; ses conseils et sa bonnehumeurmath´ematiquemonte´te´pre´cieuxpendantlapre´parationdecette the`se.Jaiparticulie`rementappr´eci´elafa¸condontilaguid´emespremiersessais dans la recherche et surtout l’infinie patience avec laquelle il a rendu lisibles mes textes. Fre´de´ricCampanaetPaulGauduchonmontfaitlegrandhonneurderap-portersurcettethe`se;jaimeraisquilstrouventicilexpressiondemaprofonde gratitude. Jesuise´galementravidelapre´sencedeChrisPetersdansmonjuryettout particulie`rementdecelledeG´erardBesson,aveclequeljaieudenombreuseset enrichissantesdiscussionsmath´ematiques. Pendantcesderniersanne´es,jaieulachancederencontrerdesgensdontles capacit´esmath´ematiquesmontbeaucoupapporte´.Ainsijevoudraisremercier PierreB´erard,LouisFunar,EmmanuelGiroux,SiegmundKosarewetVladSergi-escu. Jedoisdevifsremerciement`SylvestreGallotet`aMikhaelGromov;leursre-s a ` marquesetid´eesonteudesconse´quencesimportantesdansmontravailAlInsti-. tutFourierjai´ete´chaleureusementaccueilliparletoutjeunenoyaucomplexeconstitue´parLaurentBonavero,ThierryBouche,LaurentManiveletChristophe Mourougane.Jetiensa`lesremercierenexprimantmonamicaleadmiration. Enn,jaileplaisirderemercierArletteGuttin-Lombardpoursescomp´etents conseilsenmati`eredeTEXetsesvoeuxdebonnechance.Ilyaquelquesann´ees, jairencontre´Ioana.Depuis,toutestbeaucoupplusbeauautourdemoi.
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TabledesMati`eres
Introduction                                                          
Chapitre 1                                                            1.A P ´liminaires                                                   re 1.A.1Eectivite´nume´riqueausensm´etrique                         1.A.2R´esultatsconcernantlare´gularisationdescourantspositifsferm´es 1.B Images inverses des fibres nef                                   1.CCaract´erisationdeleectivite´nume´riqueentermesdecourants  1.DLhypoth`ese(INT)                                           
Chapitre 2                                                             2.APre´liminaires                                                    2.A.1Quelquesrappelsdeg´eome´triek¨ahle´rienne                       2.A.2Quelquesrappelsdege´ome´trieriemannienne                    2.B.1Presque-nilpotencedugroupefondamentaldesvarie´t´eska¨hleriennes compactes`aclassedeRiccinef                                  2.B.2Potentielscontrˆol´esenmo                              yenne   2.CPresque-ab´elianite´dugroupefondamentaldecertainesvari´et´esk¨h a -l´eriennescompactesa`classedeRiccinume´riquementeective    2.C.1 Le cas projectif                                                  2.C.2Lecasdudiame`treni                                          2.C.3 Un exemple                                                    2.D.1UnemajorationdupremiernombredeBettidesvarie´t´esk¨ahl´e-riennescompactes`aclassedeRiccinef                          2.D.2Lecasdudiam`etreinni                                        2.D.3 Quelques remarques au sujet du morphisme d’Albanese d’une va-ri´et´ek¨ahle´riennecompactea`classedeRiccinef                 
R´eferences                                                            ´
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13 13 13 17 18 26 29
33 33 33 36 40 43 47 48 48 56 61 65 69
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Introduction Lobjetprincipaldecettethe`seestde´tudierlesbr´esendroitesnum´eriquement eectifssurlesvari´ete´scomplexescompactesetlespropri´et´esdesvarie´t´esk¨ahl´e-riennesa`classedeRiccinume´riquementeective. Le premier chapitre commence par une analyse des diverses formulations de la notiondeectivite´nume´riquedanslecadredesvari´et´escomplexescompactes quelconques. Eng´eom´etriealg´ebrique,ondisposedunenotionbienconnuedebre´endroites nume´riquementeectif(nefenabre´ge´)surunevari´ete´projectivecomplexe:un fibre en droitesLsrunuvera´itee´projectiveXest dit nef siLC0 pour toute ´ courbeferm´eeCXenited´.Cetpsreptulnseitnoasecslanedntnetienud varie´tecomplexecompactequelconque,carunetellevari´et´epeutnepasavoir ´ decourbes.Lecrite`redamplitudedeSeshadripermetdereformulerlanotion deectivite´nume´riquesurlesvari´ete´sprojectivesentermesdem´etriqueshermi-tiennes.Danscetteperspective,lanotiondeectivite´num´eriquege´n´eralement acceptee est la suivante: ´ D´enition.SoitXmoulpexneacveire´´tcetompactee(L h)itimne´rbreheun en droites surX dit que. OnLest nef si pour toutε >0il existe une fonction φε∈ C(X)telle que:
Θh(L) +i∂∂φε≥ −εω o`uωitrmnniex´esueeretsnumee´rtqieuehX. Autrementdit,ondemandelexistencedunesuitedeme´triqueshε= exp(φε)h surLaltnode.entpetittiarrimeerseatbrcodebuurafelmeortagedevitrap´nei Cettenotione´tantainsiformul´ee,onpeutsedemandersilespropri´et´esdesbre´s nefsde´montre´esparlesm´ethodesdelag´eom´etriealg´ebriquerestentvalablesen ge´ome´trieanalytique. Dapr`esuneobservationdeFujita([Fu]),onalinvariancedelaproprie´te´ deectivit´enume´riqueparlesmorphismessurjectifsentrevarie´te´sprojectives. Lepremierth´eor`emeduchapitre1ge´n´eralisecer´esultatdanslecasdesvarie´te´s holomorphes compactes quelconques. Th´eor`eme1B1.Soitf:YXune application holomorphe surjective,X etY´tiosetcste,ompaxescmpleescoe´´tavirdtsetenaLXitro.esr´bndeenu AlorsLXest nef si et seulement sifLYest nef. 7
Onauneapplicationinte´ressantedeceth´eor`emedanslecadredesvari´ete´sde Moishezon.Eneet,unetellevarie´te´posse`deassezdecourbespourquela de´nitionalg´ebriquedunbre´nefsoitl´egitime,donconpeutseposerlaquestion delequivalencedesdeuxnotionsdeectivite´num´erique,ausensalg´ebriqueset respectivementausensm´etrique.Lare´ponseestdonne´eparlecorollairesuivant: Corollaire 1.B.7.SoitXehsioMede´te´iraevunzon,LXrdioet.snbr´eenu AlorsListsneuestemeluqireisealnsebg´eftnseauLtsenesuafeniqtr´esm.ue Ande´noncerlere´sultatsuivant,nousauronsbesoindelanotiondeclassede cohomologie pseudo-effective, dans le groupe de “cohomologie” H11(X) ={α∈ C(XΛ11TX)∂α=∂α= 0}∂∂C(X)
pDs´eeudnoi-teioffenct1iv.eA.si1.e4ll.´utiusqolecfefniOruoctpitdnnanhotmioelnotguinassedeeccooe{α} ∈H11(X)est rme. Danslatroisi`emepartiedecepremierchapitreonde´montredeuxre´sultatsqui sontdescaract´erisationsdelanotiondeectivit´enum´eriquepourlesclassesde cohomologiepseudo-eectivesetenparticulier,danslasituationalge´brique,pour les classes de diviseurs effectifs. Th´eor`eme1.C.2.SoitTun(11)teire´enavptnaruocrusu´ermfeifitosXcom-´ pacte complexe. Alors{T}est nef si et seulement si{T}|Zest nef, pour chaque sous-ensembleanalytiqueirre´ductibleZSc>0Ec(T) (o`uEc(T)signd´esnmelee-ble des points deXtel que le nombre de Lelong deT`uroeuri´epustsetniopecne ´egal`ac). The´ore`me1.C.3.Soit{α} ∈H11(X)une classe de cohomologie. Alors{α}est nefsietseulementsipourtoutensembleanalytiqueirre´ductibleZXla classe {α}|Zest pseudo-effective. (une classe de cohomologie est nef si elle admet de representants de classeCdont ´ lapartien´egativeestarbitrairementpetite).Commecons´equencedesre´sultats ci-dessus,onobservequesurlessurfacescomplexescompactesonauncrite`re num´eriquedecaracterisationdesclassesnef: ´ Proposition 1.C.5.SoitXune surface complexe compacte etTun courant positifferm´edebidegr´e(11) pour chaque courbe. SiCXon a{T} C0, alors{T}est nef. Lesderniersre´sultatsdupremierchapitreportentsurdespropri´ete´squalitativesdesclassesdecohomologienef(unemotivationdesnotionsetre´sultatsdecette partier´esidedansl´etudedugroupefondamentaldesvari´et´eska¨hle´riennescom-pactes`aclassedeRiccinef,e´tudequiserapoursuiviedansledeuxie`mechapitre). Soit{α} montre que l’existence d’un Onune classe de cohomologie nef. courantpositifferm´eT∈ {α}dont le potentielϕest tel que exp(ϕ) soit int´egrable(onappelleraI N Tednceperesr´taenstnroprttep´e)ei´etıˆentnarsietlxeec 8
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