These de l'Universite Joseph Fourier Grenoble I
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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
These de l'Universite Joseph Fourier (Grenoble I) Fibres en droites numeriquement effectifs et varietes kahleriennes compactes a courbure de Ricci nef Mihai Pa˘un Universite de Grenoble I, Institut Fourier Memoire acheve en novembre 1997 These soutenue a Grenoble le mercredi 21 janvier 1998 Jury : Gerard BESSON (CNRS, UJF) Frederic CAMPANA (Nancy 1) (rapporteur) Jean-Pierre DEMAILLY (UJF) (directeur) Paul GAUDUCHON (CNRS, Ecole Polytechnique) (rapporteur) Christiaan PETERS (UJF) (President)
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These de l'Universite Joseph Fourier (Grenoble I) Fibres en droites numeriquement effectifs et varietes kahleriennes compactes a courbure de Ricci nef Mihai Pa˘un Universite de Grenoble I, Institut Fourier Memoire acheve en novembre 1997 These soutenue a Grenoble le mercredi 21 janvier 1998 Jury : Gerard BESSON (CNRS, UJF) Frederic CAMPANA (Nancy 1) (rapporteur) Jean-Pierre DEMAILLY (UJF) (directeur) Paul GAUDUCHON (CNRS, Ecole Polytechnique) (rapporteur) Christiaan PETERS (UJF) (President)
- fibres en droites numeriquement
- presque-nilpotence du groupe fondamental des varietes kahleriennes
- classe de ricci nef
- riete kahlerienne compacte
Th`esedel’Universite´JosephFourier(GrenobleI)
Fibre´sendroitesnum´eriquementeffectifs etvarie´t´eska¨hle´riennescompactes `acourburedeRiccinef
MihaiP˘aun
Universit´edeGrenobleI,InstitutFourier
M´emoireacheveennovembre1997 ´
Th`esesoutenuea`Grenoblelemercredi21janvier1998
Jury : Ge´rardBESSON(CNRS,UJF) Fr´ed´ericCAMPANA(Nancy1)(rapporteur) Jean-Pierre DEMAILLY (UJF) (directeur) ´ Paul GAUDUCHON (CNRS, Ecole Polytechnique) (rapporteur) ChristiaanPETERS(UJF)(Pr´esident)
Remerciements
Je voudrais tout d’abord remercier Jean-Pierre Demailly; ses conseils et sa bonnehumeurmath´ematiquem’onte´te´pre´cieuxpendantlapre´parationdecette the`se.J’aiparticulie`rementappr´eci´elafa¸condontilaguid´emespremiersessais dans la recherche et surtout l’infinie patience avec laquelle il a rendu lisibles mes textes. Fre´de´ricCampanaetPaulGauduchonm’ontfaitlegrandhonneurderap-portersurcettethe`se;j’aimeraisqu’ilstrouventicil’expressiondemaprofonde gratitude. Jesuise´galementravidelapre´sencedeChrisPetersdansmonjuryettout particulie`rementdecelledeG´erardBesson,aveclequelj’aieudenombreuseset enrichissantesdiscussionsmath´ematiques. Pendantcesderniersanne´es,j’aieulachancederencontrerdesgensdontles capacit´esmath´ematiquesm’ontbeaucoupapporte´.Ainsijevoudraisremercier PierreB´erard,LouisFunar,EmmanuelGiroux,SiegmundKosarewetVladSergi-escu. Jedoisdevifsremerciement`SylvestreGallotet`aMikhaelGromov;leursre-s a ` marquesetid´eesonteudesconse´quencesimportantesdansmontravailAl’Insti-. tutFourierj’ai´ete´chaleureusementaccueilliparletoutjeune“noyaucomplexe” constitue´parLaurentBonavero,ThierryBouche,LaurentManiveletChristophe Mourougane.Jetiensa`lesremercierenexprimantmonamicaleadmiration. Enfin,j’aileplaisirderemercierArletteGuttin-Lombardpoursescomp´etents conseilsenmati`eredeTEXetsesvoeuxde“bonnechance”.Ilyaquelquesann´ees, j’airencontre´Ioana.Depuis,toutestbeaucoupplusbeauautourdemoi.
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TabledesMati`eres
Introduction
Chapitre 1 1.A P ´liminaires re 1.A.1Effectivite´nume´riqueausensm´etrique 1.A.2R´esultatsconcernantlare´gularisationdescourantspositifsferm´es 1.B Images inverses des fibres nef 1.CCaract´erisationdel’effectivite´nume´riqueentermesdecourants 1.DL’hypoth`ese(INT)
Chapitre 2 2.APre´liminaires 2.A.1Quelquesrappelsdeg´eome´triek¨ahle´rienne 2.A.2Quelquesrappelsdege´ome´trieriemannienne 2.B.1Presque-nilpotencedugroupefondamentaldesvarie´t´eska¨hleriennes compactes`aclassedeRiccinef 2.B.2Potentielscontrˆol´esenmo yenne 2.CPresque-ab´elianite´dugroupefondamentaldecertainesvari´et´esk¨h a -l´eriennescompactesa`classedeRiccinume´riquementeffective 2.C.1 Le cas projectif 2.C.2Lecasdudiame`trefini 2.C.3 Un exemple 2.D.1UnemajorationdupremiernombredeBettidesvarie´t´esk¨ahl´e-riennescompactes`aclassedeRiccinef 2.D.2Lecasdudiam`etreinfini 2.D.3 Quelques remarques au sujet du morphisme d’Albanese d’une va-ri´et´ek¨ahle´riennecompactea`classedeRiccinef
R´eferences ´
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13 13 13 17 18 26 29
33 33 33 36 40 43 47 48 48 56 61 65 69
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Introduction L’objetprincipaldecettethe`seestd’e´tudierlesfibr´esendroitesnum´eriquement effectifssurlesvari´ete´scomplexescompactesetlespropri´et´esdesvarie´t´esk¨ahl´e-riennesa`classedeRiccinume´riquementeffective. Le premier chapitre commence par une analyse des diverses formulations de la notiond’effectivite´nume´riquedanslecadredesvari´et´escomplexescompactes quelconques. Eng´eom´etriealg´ebrique,ondisposed’unenotionbienconnuedefibre´endroites nume´riquementeffectif(“nef”enabre´ge´)surunevari´ete´projectivecomplexe:un fibre en droitesLsrunuvera´itee´projectiveXest dit nef siLC≥0 pour toute ´ courbeferm´eeC⊂Xefinited´.Cetpsreptul’nseitnoasecslanedntnetienu’d varie´tecomplexecompactequelconque,carunetellevari´et´epeutnepasavoir ´ decourbes.Lecrite`red’amplitudedeSeshadripermetdereformulerlanotion d’effectivite´nume´riquesurlesvari´ete´sprojectivesentermesdem´etriqueshermi-tiennes.Danscetteperspective,lanotiond’effectivite´num´eriquege´n´eralement acceptee est la suivante: ´ D´efinition.SoitXmoulpexneacveire´´tcetompactee(L h)itimne´rbfireheun en droites surX dit que. OnLest nef si pour toutε >0il existe une fonction φε∈ C∞(X)telle que:
Θh(L) +i∂∂φε≥ −εω o`uωitrmnniex´efisueeretsnumee´rtqieuehX. Autrementdit,ondemandel’existenced’unesuitedeme´triqueshε= exp(−φε)h surLaltnode.entpetittiarrimeerseatbrcodebuurafelmeortagedevitrap´nei Cettenotione´tantainsiformul´ee,onpeutsedemandersilespropri´et´esdesfibre´s nefsde´montre´esparlesm´ethodesdelag´eom´etriealg´ebriquerestentvalablesen ge´ome´trieanalytique. D’apr`esuneobservationdeFujita([Fu]),onal’invariancedelaproprie´te´ d’effectivit´enume´riqueparlesmorphismessurjectifsentrevarie´te´sprojectives. Lepremierth´eor`emeduchapitre1ge´n´eralisecer´esultatdanslecasdesvarie´te´s holomorphes compactes quelconques. Th´eor`eme1B1′.Soitf:Y→Xune application holomorphe surjective,X etY´tiosetcste,ompaxescmpleescoe´´tavirdtsetenaL→Xitro.esr´fibndeenu AlorsL→Xest nef si et seulement sif∗L→Yest nef. 7
Onauneapplicationinte´ressantedeceth´eor`emedanslecadredesvari´ete´sde Moishezon.Eneffet,unetellevarie´te´posse`de“assezdecourbes”pourquela de´finitionalg´ebriqued’unfibre´nefsoitl´egitime,donconpeutseposerlaquestion del’equivalencedesdeuxnotionsd’effectivite´num´erique,ausensalg´ebriqueset respectivementausensm´etrique.Lare´ponseestdonne´eparlecorollairesuivant: Corollaire 1.B.7.SoitXehsioMede´te´iraevunzon,L→Xrdioet.snfibr´eenu AlorsListsneuestemeluqireisealnsebg´eftnseauLtsenesuafeniqtr´esm.ue Afind’e´noncerlere´sultatsuivant,nousauronsbesoindelanotiondeclassede cohomologie pseudo-effective, dans le groupe de “cohomologie” H∂1∂1(X) ={α∈ C∞(XΛ11T∗X)∂α=∂α= 0}∂∂C∞(X)
pDs´eeufidnoi-teioffenct1iv.eA.si1.e4ll.´ut’iusqolecfefniOruoctpitdnnanhotmioelnotguinassedeeccooe{α} ∈H∂1∂1(X)est rme. Danslatroisi`emepartiedecepremierchapitreonde´montredeuxre´sultatsqui sontdescaract´erisationsdelanotiond’effectivit´enum´eriquepourlesclassesde cohomologiepseudo-effectivesetenparticulier,danslasituationalge´brique,pour les classes de diviseurs effectifs. Th´eor`eme1.C.2.SoitTun(11)teire´enavptnaruoc–rusu´ermfeifitosXcom-´ pacte complexe. Alors{T}est nef si et seulement si{T}|Zest nef, pour chaque sous-ensembleanalytiqueirre´ductibleZ⊂Sc>0Ec(T) (o`uEc(T)signd´esnmelee’-ble des points deXtel que le nombre de Lelong deT`uroeuri´epustsetniopecne ´egal`ac). The´ore`me1.C.3.Soit{α} ∈H∂1∂1(X)une classe de cohomologie. Alors{α}est nefsietseulementsipourtoutensembleanalytiqueirre´ductibleZ⊆Xla classe {α}|Zest pseudo-effective. (une classe de cohomologie est nef si elle admet de representants de classeC∞dont ´ lapartien´egativeestarbitrairementpetite).Commecons´equencedesre´sultats ci-dessus,onobservequesurlessurfacescomplexescompactesonauncrite`re num´eriquedecaracterisationdesclassesnef: ´ Proposition 1.C.5.SoitXune surface complexe compacte etTun courant positifferm´edebidegr´e(11) pour chaque courbe. SiC⊂Xon a{T} C≥0, alors{T}est nef. Lesderniersre´sultatsdupremierchapitreportentsurdespropri´ete´s“qualitatives” desclassesdecohomologienef(unemotivationdesnotionsetre´sultatsdecette partier´esidedansl’´etudedugroupefondamentaldesvari´et´eska¨hle´riennescom-pactes`aclassedeRiccinef,e´tudequiserapoursuiviedansledeuxie`mechapitre). Soit{α} montre que l’existence d’un Onune classe de cohomologie nef. courantpositifferm´eT∈ {α}dont le potentielϕest tel que exp(−ϕ) soit int´egrable(onappelleraI N Tednceperesr´taenstnroprttep´e)ei´etıˆentnarsiet’lxeec 8
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