Théorème(existence déjà démontré dans (1) ): ax x Si a désigne un réel non nul, les solutions de l'équation différentiellesont les f y '=ayonctionsfk=keoù c∈ℝ .
Démonstration: ax ●fx=ke Soitk, dérivable sur IR comme composée de fonctions dérivables et, ax ∀ ∈ℝ =x=a fx x ,f 'kkx aef 'k k. <=> fy '=ayfy '=ay La fonctionk. On dit quevérifie la relationkest la solution de l'équation différentielle.
●y '=ay Soit g une fonction dérivable sur IR et solution de l'équation différentielle. −a x x=gx×e Introduisons la fonctiontelle que. Cette fonction est dérivable sur IR comme produit de deux fonctionsdérivables sur IR et −a x−a x 'x=g 'xegx×−ae −a x 'x=e[g 'xgx×−a] −a x 'x=eg 'x−a gx y '=ayg 'x=a gx Or g est une solution de l'équation différentielledonc . −ax ax 'x=0⇔ x=kk∈ℝk=gxegx=ke Donc ,. D'où,alors . ax y '=ayfx=ke Donc l'ensemble des solutions de l'équation différentielleest l'ensemble des fonctionskoù c∈ℝ .
y '=ayba∈ℝ II) Équations:où *: Remarque:si b = 0, on retrouve le cas particulier précédent.
Théorème: a≠0y '=ayb Si a et b désignent des réels tels que, les solutions de l'équation différentiellesont les axb fx=ke− fonctionsk. a
Démonstration: axbax ●fx=ke−'f fx=c ae Soitk. La fonctionkest dérivable sur IR (idem que I)) etk(#). a axb ax ax a fxb=a[ce− ]ba fxb=ca ce−bb=c ae D'autre part,k<=>k. De (#), a f 'x=a fxb fy '=ayb k k. La fonctionk.est donc une solution de l'équation différentielle Est-ce la seule? ●y '=ayb Unicité: Soit g une solution de l'équation différentielle. b x=gx'x=g 'x Introduisons doncest dérivable et. a 'x=a gxb y '=aybb Or, g est solution de l'équation différentielle, donc<=> 'x=a[ x− ]b a 'x=a x−bb'x=a xy '=ay donc .Donc estsolution de l'équation différentielle. ax y '=ayfx=ke Or l'ensemble des solutions de l'équation différentielleest une fonctionk. ax x=ke Donc . baxb gx= x−gx=ke− => Donc<=> . a a
Exemple: y '7y=−1 a) Résoudre l'équation différentielle: y '=−7y−1 Réponse:donc a = -7 (non nul)et b = -1. f L'ensemble des solutions de l'équation différentielle est l'ensemble des fonctionsktelles que −7x1 fx=ke− k. 7 b) Combien cette équation différentielle admet-elle de solutions vérifiant la contrainte y(0) = 4 ? Réponse: −7×01 29 f0=4⇔ke− =4k= k. .Il y a donc unicité de la valeur k. 7 7 Cette équation différentielle admet une seule solution vérifiant la condition initiale y(0) = 4. C'est la fonction 29−7x1 fx=e− . 7 7
Propriété: x ;yy '=ayba≠0 Pour tout couple0 0admet une unique solution telle que, l'équation différentielle yx=y 0 0.
Démonstration: axb y '=ayba≠0yx=ke−x L'équation différentielleadmet pour solution généralekla. On donne à a ax0b xyx=ke− valeur d'où. 00 a ax0bax0b yx=yke− =y ke=y Or0 0=>0donc0. a a b1b−ax k=y0 ×k=y ×e Ainsi,ax<=>0. (Unicité de la valeur de k). aa e b−a x0axbbax−x0b fx= y e e−fx=y e− La solution est donc0<=>0. [ ] a aa a