Exercice1opnist:4 Dans un repère(O;i,j!du plan, on considère les pointsA3 ;%2 ,B4 ; 2 etC5 ;1 . ( ! ( ! ( ! 1°. Calculer les coordonnées : a. du centre de gravité G du triangleABC; 1(( ! %! ( ! b. deH Bar{A,1 ;B, 2 ;C, 3} 2°. Déterminer les coordonnées du point D tel queH Bar{A,1 ;B; , , 2 2} 1(( ! %! (D!.
Exercice2oints:6p
SoitABCun triangle tel queAB17cm;BC19cmetAC112cm; on noteIle milieu de [AB] , Mle milieu de [AC] ,Lle milieu de [MC] ,Nle milieu de [AM] etJ,K, les deux points de[BC] vérifiantBJ1JK1KC.
1°. Faire une figure, puis exprimer sans justification les pointsI,J,K,L,MetNcomme barycentres des pointsA,BouC.
oitG1Bar A B2 ;C,1 . Montrer queGest 2°. S{(, 2!;(,! ( !}l’intersection des droitesAJetIC. ( ! ( !
1. Construire un triangleABCvérifiantAC112cm,BA110cm,CB18cm. Placer le milieuIde[AB] , le milieuJde [BC]et le centre de gravitéGdu triangle.
2. Construire le barycentreKdes points pondérés{A;, 2 B;, 2 C,%1}. ( ! ( ! ( ! Montrer que les pointsK,GetCsont alignés.
3. Déterminer et construire l’ensembleEdes pointsM2du plan tels que : MA#2MB%MC soit colinéaire àBC.
4. a) Démontrer que le vecteur 2MA#2MB%MCest indépendant du choix du pointM. b) Déterminer et construire l’ensembleFdes pointsMdu plan tels que : 2MA#2MB%MC12MA%MB%MC
5. Déterminer et construire l’ensembleDdes pointsMdu plan tels que : 2MA#2MB%MC1MA#MB#MC.
Exercice 1 1. Dans un repère(O;i,j!, les coordonnées deG1Bar{A;, 3 B,%2}sont ! ( ! ( ! x#x#x3#4#5y#y#y%2#2#1 1æ1ö A B G A B C 1 1 1y11 1 G4 ; xG4 etGsoitç ¸ 3 3 3 3 3è3ø De même , le coordonnées deH1Bar{A;, 2 B,%3} ( ! ( ! 1´x%2x#3x1´3%2´4#2´5 1´y%2´y#3y%2%2´2#3´1 3 A B C A B C x1 1 15 ety1 %1 1 H H 1%2#13 2 %2#23 2 æ %3ö D(x;y!{(,1! ( !! ( } 2. On poseD D. CommeH1Bar A;B,%2 ;D, 2 etH5 ; ç ¸ è2ø 1´x%2x#2x1´3%2´4#2x A B C x11 1 x% On a :Het2 5 1%2#2 1 1´y%2´y#2y%2%2´2#2´y A B C D y1 1 12y%6 H 1%2#2 1 3 9 9æ9 D’où2x%515Û2x110Ûx15et 2y%61 % Û2y1 Ûy1 soitD5; ç ¸ 2 2 4è4ø Remarque: on peut aussi montrer queD1Bar{A,%1 ;B;, 2 H,1},en partant de la définition ( ! ( ! ( ! De D , et calculer ses coordonnées à partir de cette relation. Exercice 2 1.La figure est très simple .en regardant bien le rapport de distance , on trouve sans problème I1Bar{A,1 ;B,1}J1Bar{B, 2 ;C,1}K1Bar{B,1 ;C, 2!}( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( L1Bar{A,1 ;C, 3}M1Bar{A,1 ;C,1}N1Bar{A, 3 ;C,1} ( ! ( !( ! ( !( ! ( ! G1Bar{(A, 2!;(B, 2!;(C,1!}et( ! ( !on déduit que : 2. On a :J1Bar{B;, 2 C,1}par associativité, G1Bar{A, 2 ;J, 3}, doncGÎAJ. ( ! ( ! ( ! On a :G1Bar{A, 2 ;B;, 2 C,1}etJ1Bar{B;, 2 C,1}par associativité, on déduit que : ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! G1Bar{I;, 4 C,1}, doncGÎCI.On déduit queGÎAJetGÎCI, doncGÎAJÇCI. ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! 1(a! (b! ( ! 3.On considère le pointH Bar{A, ;B, ;C;g} SiHÎAK, alorsK1Bar{B,b;C;g}cg12b. , don ( ! ( ! ( ! On veut qu’il appartient aussi àBL!d oncL1Bar{(A,a!;(C,g!}et on a :g13a. ( H1Bar{(A, 2!;(B, 3!;(C; 6!} On déduit que Vérification C
A
N
M
I
L
G
H
K
J
B
On a : H1Bar{A, 2 ;B, 3 ;C; 6}et ( ! ( ! ( ! K1Bar{B, 3 ;C; 6}, par ( ! ( ! associativité , on en déduit 1( !( ! H Bar{A, 2 ;K, 9}soit HÎAK! . ( On a : H1Bar{A B C}et (, 2!;(, 3!;(; 6! 1( ! ( ! L Bar{B, 2 ;C; 6}, par associativité , on en déduit H1Bar{(B, 3!;(L,8!} soit Î( !( ! ( ! H BL.HÎAKÇBL Exercice 3 2. pour tout pointM, 2MA#2MB%MC13MK. uu uu uu uu uu uu 1 SiM1Ion obtient : 2IA#2IB%IC13IKÛIK1 %IC. 3 es vecteur et ires d’oùKÎIC. OrICmédiane LIKICsont colinéa du triangle ABC passant parC ( ! ( ! Î( ! D’oùG IC, on e déduit : les pointsK,GetCsont alignés. 3. On a :MÎEÛ2MA#2MB%MCetBCcolinéairesÛ3MK et BC colinéairesÛMK et BC colinéaires, donc (E) est la parallèle à(BC!passant parK. 4. a. On a 2MA%MB%MC12MA%MA A%B M%A AC%A1B%AC donc le vecteur 2MA%MB%MCest indépendant du choix du point M. :MÎFÛ2MA#2MB%MC12MA%MB%MCÛ3MK1BA#CA b. On a orBA#CA1BJ#JA#CJ#JA12JApuisqueJest l’isobarycentre{(B,1!;(C,1!} uuuu uu 2 MÎFÛ3MK12JAÛMK1JA,doncFest le cercle de centreKet de rayon de longueur 3 2 JA1AG, puisqueGest le centre de gravité ( isobarycentre ) du triangleABC 3 5. On a :Gisobarycentre des pointsA,BetC. MÎDÛ2MA#2MB%MC1MA#MB#MCÛ3MK13MGÛMK1MG doncD[est la médiatrice du segment KG] .
D
F
A
K
I
Annexe exercice 2
G
E
A Annexe exercice 3
C
B
J
C
B
A
C
B
DM N°4 MATHEMATIQUES BARYCENTRES 1°SSI 2010-2011
Exercice 1 Soient A et B deux points distincts du plan. 1 1. Quel est l’ensemble9des points M du plan tels que 2MA#MB AB?
2. Quel est l’ensembleS2des points M du plan tels que MA#MB13MA? 3. Quel est l’ensembleDcdes points M du plan tels que les vecteurs t soient 2MA#MBeABolinéaires ? 4. Sur une même figure, représenter les ensembles9,SetD. On prendra AB = 6 carreaux. Exercice 2 Soient ABCD un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. 1B On appelle K, L et M les points tels quLC1 %2LD1 e :KA%2K ;LM MK 1. Faire une figure. 2. On poseG1Bar{A,1 ;B, 2 ;C,1 ;D, 2}. ( ! ( ! ( ! ( ! a. En associant les points judicieusement, montrer que G est le milieu de [KL]. b. À l’aide d’une autre association, montrer que G, I et J sont alignés. Préciser la position du point G sur la droite (IJ). c. Où se situe le point G sur la figure ?
Exercice 3 I1Bar{(B,1!;(C, 2!} Soient A, B et C trois points non alignés du plan. On pose . La parallèle à (AC) passant par I coupe le segment [AB] en J.
1. Faire un dessin 2. Montrer queI1Bar{B,1 ;A, 2}. ( ! ( ! 3. En quel point la parallèle à (AB) passant par I coupe-t-elle le segment [AC] ? Justifier la réponse.
Exercice 4 uuu uuu 1 Soient ABC un triangle non plat et M, N, P trois points tels queAM13AB .BN1BCAP1 %AC 4 1. Exprimer chacun des points M, N et P comme barycentre de deux des sommets du triangle ABC affectés de poids entiers. 2. Prouver que les droites (AN), (BP) et (CM) sont concourantes. a g On pourra chercher à déterminer trois réels ,bet tels queG1Bar{(A,a!;(B,b!;(C,g!} appartienne à chacune de ces droites ... et utiliser pour cela les résultats de la première question. Exercice 5 a b Soient A, B et C trois points non alignés. Pour et deux nombres réels tels quea # b 11 , on définitH1Bar{A,a;B,b}etF1Bar{C,a!;(A,b!}, puis G le centre de gravité ( ! ( ! ( du triangle AHF.
( ! (a I1BBar A . Exprime 3. On pose{; ,1, 2 !}r le vecteurIG.en fonction du réel
a 4. Quel est l’ensemble des points G lorsque décritR? Le construire sur une figure.
Exercice 1 1.
AB ce qui montre que E1est le cercle de centre G et de rayon 3
ce qui montre que E2 est la médiatrice du segment [AG]. 3.
4. Exercice 2
Enfin1MKsignifie que M est le milieu de [KL]. LM 2.
si bien
Ainsi
ue G est le milieu de [KL], soit G = M.
E3 est la droite (AB).
par homogénéité des barycentres.
uu uu 2 Ceci prouve queGÎIJetIG1IJ( ! 3 (c) Le point G est confondu avec M, le milieu du segment [KL]. Il se situe en outre à l’intersection des droites (IJ) et (KL). Exercice 3 uu uuu 2 1. On aI1Bar{B,1 ;C, 2}, doncBI1BC ( ! ( ! 3 2.De plus, les droites (AC) et (IJ) sont parallèles.On sait que les droites (AJ) et (CI) sont sécantes en B. uuu uuu BJ BI2 2 On déduit alors du théorème de Thalès que1 1, puisqueBJ1BCBA BC3 3
Par conséquentJ1Bar{B,1 ;A, 2} ( ! ( ! 3.Soit K le point considéré. _ On sait que les droites (AK) et (BI) sont sécantes en C. _ De plus, les droites (AB) et (IK) sont parallèles. On déduit alors du théorème de Thalès que uu uuu CI CK1 2 1 1puisqueCI1CBCB CA3 3