Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

Kdouh

Description

Avec correction. Dsn4-barycentre
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première SSI

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Extrait

DS N°4 MATHEMATIQUES BARYCENTRE 1°SSI 2010-2011

Exercice1opnist:4  Dans un repère ( O;i,j ! du plan, on considère les points A3 ;%2 ,B4 ; 2 et C5 ;1 . ( ! ( ! ( ! 1°. Calculer les coordonnées :  a. du centre de gravité G du triangle ABC ; 1 (( ! % ! ( !  b. de H Bar { A,1 ;B, 2 ;C, 3 } 2°. Déterminer les coordonnées du point D tel que H Bar { A,1 ;B; , , 2 2 } 1 (( ! % ! ( D ! .

Exercice2oints:6p

 Soit ABC un triangle tel que AB17cm ; BC19cm et AC112cm ; on note I le milieu de [AB] , M le milieu de [AC] , L le milieu de [MC] , N le milieu de [AM] et J , K , les deux points de[BC]  vérifiant BJ 1 JK 1 KC .

1°. Faire une figure, puis exprimer sans justification les points I , J , K , L , M et N comme barycentres  des points A , B ou C .

oit G1Bar A B2 ;C,1 . Montrer que G est 2°. S { ( , 2 ! ; ( , ! ( ! } l’intersection des droites AJ et IC . ( ! ( !

1 ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! 3°. Soit H Bar { A, 2 ;B;, 3 C; 6 } Montrer que H est l’intersection des droites AK et BL .

Exercice3po0tsin1:

1. Construire un triangle ABC vérifiant AC112cm , BA110cm , CB18cm .  Placer le milieuI de[AB] , le milieuJ de [BC] et le centre de gravité G du triangle.

2. Construire le barycentreKdes points pondérés { A;, 2 B;, 2 C,%1 } . ( ! ( ! ( !  Montrer que les pointsK,GetCsont alignés.

3. Déterminer et construire l’ensemble E des points M 2 du plan tels que : MA#2MB%MC soit colinéaire à BC .

4. a) Démontrer que le vecteur 2MA#2MB%MC est indépendant du choix du point M .  b) Déterminer et construire l’ensemble F des points M du plan tels que :  2MA#2MB%MC12MA%MB%MC

5. Déterminer et construire l’ensembleDdes points M du plan tels que :  2MA#2MB%MC1MA#MB#MC .

Exercice 1 1. Dans un repère ( O;i,j ! , les coordonnées de G1Bar { A;, 3 B,%2 } sont ! ( ! ( ! x#x#x 3#4#5 y#y#y %2#2#1 1 æ 1 ö A B G A B C 1 1 1y11 1 G4 ; x G 4 et G soit ç ¸ 3 3 3 3 3 è 3 ø  De même , le coordonnées de H1Bar { A;, 2 B,%3 } ( ! ( ! 1´x%2x#3x 1´3%2´4#2´ 5 1´y%2´y#3y %2%2´2#3´1 3 A B C A B C x1 1 15 ety1 %1 1 H H 1%2#13 2 %2#23 2 æ %3 ö D ( x;y ! { ( ,1 ! ( !! ( } 2. On pose D D . Comme H1Bar A;B,%2 ;D, 2 et H5 ; ç ¸ è 2 ø 1´x%2x#2x 1´3%2´4#2x A B C x11 1 x%  On a : H et 2 5 1%2#2 1 1´y%2´y#2y %2%2´2#2´y A B C D y1 1 12y%6 H 1%2#2 1 3 9 9 æ 9  D’où 2x % 5 1 5 Û 2x 1 10 Û x 1 5 et 2y%61 % Û2y1 Ûy1  soit D5; ç ¸ 2 2 4 è 4 ø Remarque: on peut aussi montrer que D1Bar { A,%1 ;B;, 2 H,1 } ,en partant de la définition ( ! ( ! ( !  De D , et calculer ses coordonnées à partir de cette relation. Exercice 2 1.La figure est très simple .en regardant bien le rapport de distance , on trouve sans problème I1Bar { A,1 ;B,1 } J1Bar { B, 2 ;C,1 } K1Bar { B,1 ;C, 2 ! } ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( L1Bar { A,1 ;C, 3 } M1Bar { A,1 ;C,1 } N1Bar { A, 3 ;C,1 } ( ! ( !( ! ( !( ! ( ! G1Bar { ( A, 2 ! ; ( B, 2 ! ; ( C,1 ! } et ( ! ( ! on déduit que : 2. On a : J1Bar { B;, 2 C,1 } par associativité, G1Bar { A, 2 ;J, 3 } , donc GÎAJ . ( ! ( ! ( !  On a : G1Bar { A, 2 ;B;, 2 C,1 } et J1Bar { B;, 2 C,1 } par associativité, on déduit que : ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! G1Bar { I;, 4 C,1 } , donc GÎCI .On déduit que GÎAJ et GÎCI , donc GÎAJÇCI . ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! 1 ( a ! ( b ! ( ! 3.On considère le point H Bar { A, ;B, ;C;g }  Si HÎAK , alors K1Bar { B,b;C;g } c g12b . , don ( ! ( ! ( !  On veut qu’il appartient aussi à BL ! d onc L1Bar { ( A,a ! ; ( C,g ! } et on a : g13a . ( H1Bar { ( A, 2 ! ; ( B, 3 ! ; ( C; 6 ! }  On déduit que  Vérification C

A

N

M

I

L

G

H

K

J

B

 On a : H1Bar { A, 2 ;B, 3 ;C; 6 } et ( ! ( ! ( ! K1Bar { B, 3 ;C; 6 } , par ( ! ( !  associativité , on en déduit 1 ( !( ! H Bar { A, 2 ;K, 9 } soit HÎAK !  . (  On a : H1Bar { A B C } et ( , 2 ! ; ( , 3 ! ; ( ; 6 ! 1 ( ! ( ! L Bar { B, 2 ;C; 6 } , par  associativité , on en déduit H1Bar { ( B, 3 ! ; ( L,8 ! }  soit Î ( ! ( ! ( ! H BL . HÎAKÇBL Exercice 3 2. pour tout point M , 2 MA#2MB%MC13MK . uu uu uu uu uu uu 1  Si M1I on obtient : 2IA#2IB%IC13IKÛIK1 %IC . 3 es vecteur et ires d’où KÎIC . Or IC médiane  L IK IC sont colinéa du triangle ABC passant par C ( ! ( ! Î ( !  D’où G IC , on e déduit : les points K , G et C sont alignés. 3. On a : MÎEÛ2MA#2MB%MC et BC colinéaires Û3MK et BC colinéairesÛMK et BC  colinéaires, donc (E) est la parallèle à ( BC ! passant par K . 4. a. On a 2MA%MB%MC12MA%MA A%B M%A AC%A1B%AC  donc le vecteur 2MA%MB%MC est indépendant du choix du point M. : MÎFÛ2MA#2MB%MC12MA%MB%MCÛ3MK1BA#CA  b. On a  or BA#CA1BJ#JA#CJ#JA12JA puisque J est l’isobarycentre { ( B,1 ! ; ( C,1 ! } uuuu uu 2 MÎFÛ3MK12JAÛMK1JA ,donc F est le cercle de centre K et de rayon de longueur 3 2 JA1AG , puisque G est le centre de gravité ( isobarycentre ) du triangle ABC 3 5. On a : G isobarycentre des points A , B et C . MÎDÛ2MA#2MB%MC1MA#MB#MCÛ3MK13MGÛMK1MG  doncD [ est la médiatrice du segment KG] .

D

F

A

K

I

Annexe exercice 2

G

E

A  Annexe exercice 3

C

B

J

C

B

A

C

B

DM N°4 MATHEMATIQUES BARYCENTRES 1°SSI 2010-2011

Exercice 1  Soient A et B deux points distincts du plan. 1 1. Quel est l’ensemble 9 des points M du plan tels que 2MA#MB AB ?

2. Quel est l’ensemble S 2 des points M du plan tels que MA#MB13MA ? 3. Quel est l’ensemble D cdes points M du plan tels que les vecteurs t soient 2MA#MB e AB olinéaires ? 4. Sur une même figure, représenter les ensembles 9 , S et D .  On prendra AB = 6 carreaux. Exercice 2  Soient ABCD un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. 1B  On appelle K, L et M les points tels qu LC1 %2LD 1 e : KA%2K  ; LM MK 1. Faire une figure. 2. On pose G1Bar { A,1 ;B, 2 ;C,1 ;D, 2 } . ( ! ( ! ( ! ( !  a. En associant les points judicieusement, montrer que G est le milieu de [KL].  b. À l’aide d’une autre association, montrer que G, I et J sont alignés.  Préciser la position du point G sur la droite (IJ).  c. Où se situe le point G sur la figure ?

Exercice 3 I1Bar { ( B,1 ! ; ( C, 2 ! }  Soient A, B et C trois points non alignés du plan. On pose .  La parallèle à (AC) passant par I coupe le segment [AB] en J.

1. Faire un dessin 2. Montrer que I1Bar { B,1 ;A, 2 } . ( ! ( ! 3. En quel point la parallèle à (AB) passant par I coupe-t-elle le segment [AC] ?  Justifier la réponse.

Exercice 4 uuu uuu 1  Soient ABC un triangle non plat et M, N, P trois points tels que AM13AB  . BN1BC AP1 %AC 4 1. Exprimer chacun des points M, N et P comme barycentre de deux des sommets du triangle ABC affectés  de poids entiers. 2. Prouver que les droites (AN), (BP) et (CM) sont concourantes. a g  On pourra chercher à déterminer trois réels , b et tels que G1Bar { ( A,a ! ; ( B,b ! ; ( C,g ! }  appartienne à chacune de ces droites ... et utiliser pour cela les résultats de la première question. Exercice 5 a b  Soient A, B et C trois points non alignés. Pour et deux nombres réels tels que a # b 11 ,  on définit H1Bar { A,a;B,b } et F1Bar { C,a ! ; ( A,b ! } , puis G le centre de gravité ( ! ( ! (  du triangle AHF.

{ ( , 2 ! ; ( ,1 !! ( } 1. Montrer que G1Bar A B% a;C,a pour tout a ÎR .

a 2. Exprimer le vecteur AG en fonction du réel .

( ! ( a I1BBar A . Exprime 3. On pose { ; ,1, 2 ! } r le vecteur IG .en fonction du réel

a 4. Quel est l’ensemble des points G lorsque décrit R ? Le construire sur une figure.

Exercice 1 1.

AB  ce qui montre que E 1 est le cercle de centre G et de rayon 3

 ce qui montre que E2 est la médiatrice du segment [AG]. 3.

4. Exercice 2

 Enfin 1MK signifie que M est le milieu de [KL]. LM 2.

 si bien

 Ainsi

ue G est le milieu de [KL], soit G = M.

E3 est la droite (AB).

par homogénéité des barycentres.

uu uu 2  Ceci prouve que GÎIJ et IG1IJ ( ! 3  (c) Le point G est confondu avec M, le milieu du segment [KL].  Il se situe en outre à l’intersection des droites (IJ) et (KL). Exercice 3 uu uuu 2 1. On a I1Bar { B,1 ;C, 2 } , donc BI1BC ( ! ( ! 3 2.De plus, les droites (AC) et (IJ) sont parallèles.On sait que les droites (AJ) et (CI) sont sécantes en B. uuu uuu BJ BI2 2  On déduit alors du théorème de Thalès que 1 1 , puisque BJ1BC BA BC3 3

 Par conséquent J1Bar { B,1 ;A, 2 } ( ! ( ! 3.Soit K le point considéré. _ On sait que les droites (AK) et (BI) sont sécantes en C. _ De plus, les droites (AB) et (IK) sont parallèles. On déduit alors du théorème de Thalès que uu uuu CI CK1 2 1 1 puisque CI1CB CB CA3 3

 Par conséquent K1Bar A,1 ;C, 2 }{ ( !( !