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PC DEVOIR MAISON N° Lundi février Lundi février Oscillateurs de relaxation CCP PC

3 pages
PC 2010-2011 DEVOIR MAISON N° 13 Lundi 14 février ! Lundi 21 février - Oscillateurs de relaxation (CCP PC 2010)

  • devoir maison


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PCSI B
Math´ematiques
D e v o i rM a i s o n1 3
Lyc´eeBrizeux-anne´e2009-2010
Inverses`adroiteetsurjectivite´.
` A rendre pour le mercredi 31 mars. Vousdevezapporterleplusgrandsoin`alare´dactioneta`lapertinencedesargumentsavance´s.Lesre´sultats doiventeˆtreencadre´s.
SoientEunKespace vectoriel etfun endomorphisme deE.On dit quefnunievsr`edaortieadmets’il existeg,endomorphisme deE, tel que fg= IdE. Dans ce cas, on dit quefestteoielbirda`nisrevet on dit quegestitesr`edaornunievdef. Onseproposedecaracte´riserlesendomorphismesf´teetpuuidsrooniuseel`qadniveeqrutineduensaso´sp exemplesdetelsendomorphismespourdie´rentsespacesvectoriels. On rappelle que sifsi´eeugnndneoromsihpedemdE,alors
0 avec la convention quef= IdE.
i f=f◦ ∙ ∙ ∙ ◦f | {z } i fois
PartieI-Caract´erisationdunendomorphismeinversiblea`droite
fse´dengihirpedsmenunmodouKespace vectorielE. 1. Onsuppose quefioeta`rd.stineiblevers (a) Montrerquefest alors surjectif. (b) MontrerqueE= ker(f)Im(g). ˜ (c)End´eduirequef ,la restriction def(Im`ag),est un isomorphisme de Im(g) surE.Quelle est la ˜ re´ciproquedef? 2. Onsuppose quefest surjectif et que ker(fpl´eme)natdmetunsupiaerFdansE. ˜ (a) Montrerquefla restriction defa`Fest un isomorphisme deFdansE. (b)End´eduirequefnitumeadetiorda`esrevngque l’on explicitera. 1 3. Conclurequefinesttseevnibisra`eloidrsiteseetemulfest surjective et ker(f´lppusnuriatnemeedmet)a dansE. i i 4. Montrerque sifetioesrerda`tumenvniadg,alorsfadmetgdaorti.enievsr`epour 5. Soientf1etf2des endomorphismes deE.Montrer que sif1etf2rsselbrda`etioola,reisitvnsnof1f2 estinversiblea`droite.
´ Partie2-Etudedope´rateursdiffe´rentiels
IciEeneligesd´Respace vectorielC(R,R). 1 Onpeutenfaitmontrerquetouts.e.v.admetunsuppl´ementaire.Nouslemontreronsdanslecasparticulierou`Eest de dimension finie.
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