Seminaire BOURBAKI Novembre

Arnaud Beauville

Description

Seminaire BOURBAKI Novembre 2003 56eme annee, 2003-2004, no 924 LA CONJECTURE DE GREEN GENERIQUE [d'apres C. Voisin] par Arnaud BEAUVILLE 1. Enonce de la conjecture La conjecture de Green est une vaste generalisation de deux resultats classiques de la theorie des courbes algebriques. Soit C une courbe complexe1 projective et lisse (connexe), de genre g ≥ 2 . Soit KC le fibre canonique (= fibre cotangent) de C . On associe a C son anneau canonique R := ? n≥0 H0(C,KnC) . Notons S l'algebre symetrique S•H0(C,KC) ; c'est un anneau de polynomes en g indeterminees. THEOREME 1 (M. Noether) .? L'homomorphisme naturel S? R est surjectif, sauf si C est hyperelliptique. Supposons desormais que C n'est pas hyperelliptique. A l'homomorphisme S? R correspond un plongement de C dans l'espace projectif Pg?1 := P(H0(C,KC) ?) , dit plongement canonique, qui joue un role fondamental dans l'etude de la geometrie de C . L'etape suivante est d'essayer de comprendre les equations de C dans Pg?1 , c'est-a- dire les elements de S qui s'annulent sur l'image de C ; ils forment un ideal gradue IC de S , qui est le noyau de l'homomorphisme S? R .

• courbe


• module oc


• ????? ?p?1h0


• coefficients homogenes de degre ≥


• resolution minimale


• reunion denombrable d'hypersurfaces dans l'espace des parametres

Sujets

• Noether
• Voisin
• Beauville
• Picard
• Courbe

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 novembre 2003
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

S´eminaireBOURBAKI 56e`meann´ee,2003-2004,n o 924

´ ´ LA CONJECTURE DE GREEN GENERIQUE [d’e`sC.Voisin] apr par Arnaud BEAUVILLE

Novembre 2003

´ 1.Enonc´edelaconjecture LaconjecturedeGreenestunevasteg´ene´ralisationdedeuxre´sultatsclassiques delathe´oriedescourbesalg´ebriques.SoitCunecourbecomplexe 1 projective et lisse (connexe), de genre g ≥ 2 . Soit K C lefibr´ecanonique(=fibre´cotangent)deC.On associe a C son anneau canonique ` R := n ⊕ ≥ 0 H 0 (C  K n C ) . NotonsSl’alg`ebresym´etrique S • H 0 (C  K C );c’estunanneaudepolynˆomesen g inde´termin´ees. T HE ´ OR ` EME 1 (M. Noether) . − L’homomorphisme naturel S → R est surjectif, sauf si C est hyperelliptique . ` Supposonsd´esormaisqueCn’estpashyperelliptique.Al’homomorphismeS → R correspond un plongement de C dans l’espace projectif P g − 1 := P (H 0 (C  K C ) ∗ ) , dit plongement canonique ,quijoueunroˆlefondamentaldansl’´etudedelag´eome´triedeC. L’´etapesuivanteestd’essayerdecomprendreles´equationsdeCdans P g − 1 ,c’est-a`- direles´el´ementsdeSquis’annulentsurl’imagedeC;ilsformentunid´ealgradu´eI C de S , qui est le noyau de l’homomorphisme S → R . T HE ´ ORE ` ME 2 (Petri) . − L’ide´algradu´e I C estengendr´eparses´el´ementsdedegre´ 2 , sauf si C est trigonale 2 ouisomorphea`unecourbeplanded´e 5 . e egr Chacundecesdeuxth´eor`emesd´ecritlastructureduS-moduleRentermesde l’existencedecertainssyste`mesline´airessurlacourbeC.Parexemple,leth´eor`eme dePetrisetraduit(saufpourlesexceptionsmentionn´eesdansl’e´nonce´)parunesuite exacte S( − 2) b 1 −→ S −→ R → 0  1 Lesth´eor`emes1et2ci-dessoussontvraisentoutecaract´eristique[S-D].Cen’estpaslecasdela conjecturedeGreend’apre`s[S1]. 2 La courbe C est dite trigonale si elle admet un morphisme C → P 1 dedegr´e3.