Seminaire BOURBAKI Novembre
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Seminaire BOURBAKI Novembre 2003 56eme annee, 2003-2004, no 924 LA CONJECTURE DE GREEN GENERIQUE [d'apres C. Voisin] par Arnaud BEAUVILLE 1. Enonce de la conjecture La conjecture de Green est une vaste generalisation de deux resultats classiques de la theorie des courbes algebriques. Soit C une courbe complexe1 projective et lisse (connexe), de genre g ≥ 2 . Soit KC le fibre canonique (= fibre cotangent) de C . On associe a C son anneau canonique R := ? n≥0 H0(C,KnC) . Notons S l'algebre symetrique S•H0(C,KC) ; c'est un anneau de polynomes en g indeterminees. THEOREME 1 (M. Noether) .? L'homomorphisme naturel S? R est surjectif, sauf si C est hyperelliptique. Supposons desormais que C n'est pas hyperelliptique. A l'homomorphisme S? R correspond un plongement de C dans l'espace projectif Pg?1 := P(H0(C,KC) ?) , dit plongement canonique, qui joue un role fondamental dans l'etude de la geometrie de C . L'etape suivante est d'essayer de comprendre les equations de C dans Pg?1 , c'est-a- dire les elements de S qui s'annulent sur l'image de C ; ils forment un ideal gradue IC de S , qui est le noyau de l'homomorphisme S? R .

  • courbe

  • module oc

  • ????? ?p?1h0

  • coefficients homogenes de degre ≥

  • resolution minimale

  • reunion denombrable d'hypersurfaces dans l'espace des parametres


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Publié le 01 novembre 2003
Nombre de lectures 40
Langue Français

Exrait

S´eminaireBOURBAKI 56e`meann´ee,2003-2004,n o 924
´ ´ LA CONJECTURE DE GREEN GENERIQUE [de`sC.Voisin] apr par Arnaud BEAUVILLE
Novembre 2003
´ 1.Enonc´edelaconjecture LaconjecturedeGreenestunevasteg´ene´ralisationdedeuxre´sultatsclassiques delathe´oriedescourbesalg´ebriques.SoitCunecourbecomplexe 1 projective et lisse (connexe), de genre g 2 . Soit K C lebr´ecanonique(=bre´cotangent)deC.On associe a C son anneau canonique ` R := n 0 H 0 (C K n C ) . NotonsSlalg`ebresym´etrique S H 0 (C K C );cestunanneaudepolynˆomesen g inde´termin´ees. T HE´OR`EME 1 (M. Noether) . L’homomorphisme naturel S R est surjectif, sauf si C est hyperelliptique . ` Supposonsd´esormaisqueCnestpashyperelliptique.AlhomomorphismeS R correspond un plongement de C dans l’espace projectif P g 1 := P (H 0 (C K C ) ) , dit plongement canonique ,quijoueunroˆlefondamentaldansl´etudedelag´eome´triedeC. L´etapesuivanteestdessayerdecomprendreles´equationsdeCdans P g 1 ,cest-a`-direles´el´ementsdeSquisannulentsurlimagedeC;ilsformentunid´ealgradu´eI C de S , qui est le noyau de l’homomorphisme S R . T HE´ORE`ME 2 (Petri) . Lide´algradu´e I C estengendr´eparses´el´ementsdedegre´ 2 , sauf si C est trigonale 2 ouisomorphea`unecourbeplanded´e 5 . e egr Chacundecesdeuxth´eor`emesd´ecritlastructureduS-moduleRentermesde lexistencedecertainssyste`mesline´airessurlacourbeC.Parexemple,leth´eor`eme dePetrisetraduit(saufpourlesexceptionsmentionn´eesdansle´nonce´)parunesuite exacte S( 2) b 1 −→ S −→ R 0 1 Lesth´eor`emes1et2ci-dessoussontvraisentoutecaract´eristique[S-D].Cenestpaslecasdela conjecturedeGreendapre`s[S1]. 2 La courbe C est dite trigonale si elle admet un morphisme C P 1 dedegr´e3.
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