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Seminaire Poincare XIV Seminaire Poincare

De
57 pages
Niveau: Secondaire
Seminaire Poincare XIV (2010) 1 – 26 Seminaire Poincare (Ir)reversibilite et entropie Cedric Villani Universite de Lyon & Institut Henri Poincare 11 rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, FRANCE La cosa piu meravigliosa e la felicita del momento L. Ferre La fleche du temps fait partie de notre experience sensible et nous la ressentons chaque jour : les miroirs brises ne se recollent pas, les etres humains ne rajeunissent pas, les cernes croissent sans cesse dans les troncs des arbres, nous avons la memoire des evenements passes et pas des evenements futurs. En somme, le temps s'ecoule toujours dans le meme sens ! Pourtant, les lois fondamentales de la physique classique ne privilegient aucune direction du temps et obeissent a une rigoureuse symetrie entre passe et futur. Il est possible, comme discute dans l'article de T. Damour dans ce meme volume, que l'irreversibilite soit inscrite dans d'autres lois de la physique, par exemple du cote de la relativite generale ou de la mecanique quantique. Depuis Boltzmann, la physique statistique avance une autre explication : la fleche du temps traduit un flot constant des evenements moins probables vers les evenements plus probables. Avant de continuer sur cette interpretation qui constitue le fil directeur de tout l'expose, je noterai que l'ecoulement du temps n'est pas forcement base sur une explication unique. Au premier examen, la suggestion de Boltzmann semble saugrenue : ce n'est pas parce qu'un evenement est probable qu'il va se realiser effectivement, or la fleche du temps semble inexorable et ne tolerer aucune exception.

  • histoire de l'interpretation statistique de la fleche du temps

  • nouvelle mine de problemes mathematiques

  • theorie cinetique des gaz

  • concentree sur le vecteur des positions

  • enonce physique

  • possibilites de collision triple

  • particule

  • fleche du temps

  • potentiel


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S´eminairePoincare´XIV(2010)126
(Ir)re´versibilit´eetentropie
Ce´dricVillani Universit´edeLyon &InstitutHenriPoincar´e 11 rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, FRANCE
S´minairePoincare´ e
Lacosapiu`meravigliosa`elafelicit`adelmomento L. Ferre ´
La`smpteduheeceiresecnisneeelbtiarenedreotp´exstnouslaressentontpaif chaquejour:lesmiroirsbris´esneserecollentpas,lesˆetreshumainsnerajeunissent pas,lescernescroissentsanscessedanslestroncsdesarbres,nousavonslam´emoire dese´ve´nementspass´esetpasdese´ve´nementsfuturs.Ensomme,letempss´ecoule toujoursdanslemˆemesens!Pourtant,lesloisfondamentalesdelaphysiqueclassique neprivil´egientaucunedirectiondutempsetob´eissent`aunerigoureusesyme´trie entrepasse´etfutur.Ilestpossible,commediscut´edanslarticledeT.Damourdans cememevolume,quelirr´eversibilit´esoitinscritedansdautresloisdelaphysique, ˆ parexempleducˆot´edelarelativite´ge´ne´raleoudelam´ecaniquequantique.Depuis Boltzmann, laphysique statistiquea`eon:lcatixplirteeenuacnueaavspdehcmetu traduitunotconstantdes´eve´nementsmoinsprobablesversles´ev´enementsplus probables.Avantdecontinuersurcetteinterpr´etationquiconstitueleldirecteur detoutlexpose´,jenoteraiquele´coulementdutempsnestpasforc´ementbase´sur une explication unique. Au premier examen, la suggestion de Boltzmann semble saugrenue : ce n’est pasparcequun´eve´nementestprobableiuqaliserlvaser´eeffectivemento,lraech`e dutempssembleinexorableetnetole´reraucuneexception.Lare´ponsea`cetteob-jection tient dans un slogan : laond´echellesse´aparit. Si les lois fondamentales de laphysiquesexercentauniveaumicroscopique,particulaire(atomes,mole´cules...), lesph´enome`nesquenouspouvonssentiroumesurermettentenjeuunnombre conside´rabledeparticules.Leetdecenombreestdautantplusgrandquilinter-vient dans des calculs combinatoires : siNrapsicittnapnua`e,lenombredatome exp´erience,estdelordrede1010s,maiabled´erisnoca`je´dtsec,N! ou 2Nsont des nombres surnaturellement grands, invincibles. Lesinnombrablesde´batsentrephysiciensquisesontensuivispendantplus dunsie`cle,etsepoursuiventencoreaujourdhui,t´emoignentdelasubtilit´eetde la profondeur des arguments de Maxwell et Boltzmann, porte-drapeaux d’une pe-titer´evolutionscientiquequisaccomplitdanslesann´ees1860et1870,etquivit naıˆtrelesfondementsdelath´eoriecin´etiquedesgazmoderne,leconceptuniversel ` dentropiestatistique,etlanotiondirre´versibilit´emacroscopique.Adirevrai,les argumentse´taientsisubtilsqueMaxwelletBoltzmannsysonteux-mˆemesparfois perdus,he´sitantsurcertainesinterpre´tations,alternantleserreursnaı¨vesavecles conceptsprofonds;lesplusgrandsscientiquesdelandudix-neuvie`mesie`cle,
2C.VillaniSe´minairePoincare´ commePoincar´eouLordKelvin,nontpase´te´enreste.Ontrouveraunaperc¸ude cesatermoiementsdansletextedeDamourde´ja`cite´;pourmapartjemecontenterai depre´senteruneversiond´ecante´edelathe´oriedeBoltzmann. Enretra¸cantlhistoiredelinterpr´etationstatistiquedela`echedutemps,nous auronsloccasiondeectuerunvoyageaucœurdeprobl`emesprofondsquidepuis plusdunsie`cleagitentmath´ematiciensetphysiciens.On´evoqueraa`landecetexte lafa¸condontLandautvoleren´eclatleparadigmedeBoltzmann,d´ecouvrantune apparenteirre´versibilite´la`o`uilnesemblaitpasyenavoir,etouvrantunenouvelle minedeproble`mesmathe´matiques. Lesnotationsutilise´esdanscetexpose´sontdanslensembleclassiques;jenoterai N={123   }gol=goltnemhtiraieerp´´en.e
1 Le royaume inaccessible de Newton On va adopter ici une description purement classique de notre univers physique, selonleslois´edict´eesparNewton:lespaceambientesteuclidien,letempsabsolu, etlacc´el´erationeste´galeauproduitdelamasseparlare´sultantedesforces. Danslecasdeladescriptiondungaz,ceshypoth`esessontdiscutables:dapre`s E.G.D.Cohen,lesuctuationsquantiquesnesontpasne´gligeablesauniveaume´so-scopique.Lanatureprobabilistedelam´ecaniquequantiqueesttoujoursde´battue; admettonscependantquelincertitudeaccruequir´esulteraitdelapriseencompte de ces fluctuations ne puisse qu’arranger nos affaires, au moins qualitativement, et concentrons-nousdoncsurdesmod`elesclassiquesetde´terministes,a`laNewton. 1.1Lemod`eledessph`eresdures Pourxerlesid´ees,conside´ronsunsyste`medeparticulessphe´riqueside´ales rebondissant les unes sur les autres : soientNparticules dans une boˆıte Λ, on d´esigneparXi(t) la position au tempst´teeulicrtparo´eumenecudaledertni. Les re`glesdumouvements´enoncentcommesuit: tnibne´sciluseostlesparttialemenuqesinisnOoppu(es´earepi6=j=|XiXj|>2rpe´ste)roi(lapaesdear´ed(Xi ∂Λ)> rpour touti). aTcesetnuqitioconds´epnsdesnoitarasitastno,lesitfameveouemtnset ¨ ¨ rectiligne uniforme :Xi(t) = 0 pour toutiotnne`o,oluX=d2Xdt2ionerat´el´accl deX. Quand deux particules se rencontrent, leurs vitesses changent brutalement selon les lois de Descartes : si|Xi(t)Xj(t)|= 2r, alors ˙ ˙ X˙˙i(t+) =X˙i(t)2DXi(t)X˙˙j(t) nijEnijXj(t+) =Xj(t)2DX˙j(t)Xi(t) njiEnjio`ulonnotenij= (XiXj)|XiXj|vecteur unitaire joignant les centres desle boules en collision. Quand une particule rencontre le bord, sa vitesse change aussi : si|Xix|=r avecxΛ, alors X˙i(t+) =X˙i(t)2X˙i(t) n(x)n(x)
Vol.XIV,2010(Ir)re´versibilite´etentropie3 o`un(xeuri`arenΛeonmrtsaltxe´laee)exsopibee´dneinee.up,s ´ Cesr`eglesnesontpassusantespourd´enircomple`tementladynamique: onnepeutaprioriexclurelespossibilit´esdecollisiontriple,collisionssimultane´es entreparticulesetlebord,ouencoreduneinnit´edecollisionsseproduisanten tempsni.Cependantces´eve´nementssontdeprobabilit´enullesilesconditions initialessonttire´esauhasardselonlamesuredeLebesgue(oumesuredeLiouville) danslespacedesphases[40,Appendice4.A];onn´egligeradoncces´eventualit´es.La dynamiqueainsid´enie,toutesimplequellesoit,peutalorseˆtreconside´re´ecomme une caricature de notre univers complexe si le nombreNleseticu`esgsttrperad.dnar ´ Etudie´edepuisplusdunsi`ecle,cettecaricaturenapasencorelivr´etoussessecrets, il s’en faut de beaucoup.
1.2Autresmod`elesnewtoniens ` Apartirdumode`leemble´matiquedessph`eresdures,onpeutde´niruncertain nombre de variantes plus ou moins complexes : remplacer la dimension 3 par une dimensiond2 arbitraire (la dimension 1 ´ta t probablement pathologique) ; e n res(temiliuxnaiouseuqitsale´dnobarunis)pparorleseremplacerlacondit loi plus complexe [40, Chapitre 8] ; riarle´euauotnocsbords,teimmeinerlelet´sielsayc`stteuo,ponjsroundas dans l’espace entierRd(mais on peut alors argumenter que le nombre de particules devraiteˆtreinnipourconserverunedensit´emoyenneglobalenonnulle)oudans untoredecˆot´eL,TLd=Rd(LZdc,)iuqee;itsuneit´fresnalleadmoncserapr´ehoix aretnilcednoitcreracplemitnoietnrecahpssere`atnoedtcnerutrauursdpaes entreparticulespontuelles,parexempleassoci´eea`unpotentieldinteractiona`deux corpsφ(xy)ot=ptienexel´crepuaetnioxunpointmat´erielisute´nerapy. Parmilespotentielsdinteractionnotables,onmentionne,endimension3,a` stante multiplicative ` con pres : - le potentielcoulombien:φ(xy) = 1|xy|; - le potentielnewtonien:φ(xy) =1|xy|; - le potentielmaxwellien:φ(xy) = 1|xy|4. Linteractionmaxwelliennea´et´eintroduitearticiellementparMaxwelletBoltz-manndanslecadredel´etudestatistiquedesgaz;elleme`nea`dimportantessimpli-fications dans certaines formules. Il existe une zoologie d’autres potentiels (Lennard-Jones,Manev...).Lessphe`resdurescorrespondentaucaslimitedunpotentielqui vaudrait 0 pour|xy|> ret +pour|xy|<2r. Supposantplusg´en´eralementquelinteractionsefaitsurunee´chelledordrer etaveclintensit´eano,anrrvi`euaemt`ysstiarepednopselucselleutcpoteaveclntie d’interaction: ¨ Xi(t) =aj6X=iφXiXrj(1) pour touti∈ {1     N}; on suppose doncXiTdL. Ici encore, la dynamique estbiend´enieen-dehorsdunensembledeconditionsinitialesexceptionnelles,et associ´ee`aunflot newtonien:Ntmespguraconnautatiouqla`isassocie la position au tempss+t(tRgetafi.)tifiuo´ntuepsoperteˆ
C.VillaniS´eminairePoincare´
4 1.3 Fonctions de distribution Meˆmesilonacceptelemod`elenewtonien(1),ilnousresteinaccessible: d’abord parce que nous ne percevons pas les particules individuellement (trop petites), et rce que leur nombreN´dilbartsesnocsieicnohbseineec´erisexpecdee.Avons, pa e peutmesurerlapressi´esurunepetitesurface,latemp´eratureautourdun on exerce point,ladensit´emoyenne,etc.Toutescesquantit´esnesexprimentpasdirectement en fonction desXitˆluspai,mednoitcnofnetonnesmoyet´esantiuq ˙ N1Xχ(Xi Xi)(2) i o`uχest une fonction scalaire. La distinction peut sembler oiseuse : en particularisantχe`se,ceonecnlprntrant de la particuleiretr,onlinouvemeemtnc,leamrofoitanamnnauq.Mtesbain´ieidev est impossible : en pratiqueχnoiatiavarest`macroscopique, par exemple de l’ordre de la taille de la boˆıte. En outre, l’information contenue dans les moyennes (2) ne ˙ distinguepaslesparticules,desortequelonaremplace´levecteurdes(Xi Xi) par lamesure empirique bNt=N1NXδ(Xi(t)X˙i(t))(3) i=1 La terminologie “empirique” est bien choisie : c’est la mesure que l’on observe au moyen (sans jeu de mots) de mesures. Pourre´sumer:notreconnaissancedusyst`emedeparticulesseectueunique-menta`traverslecomportementdelamesureempiriquedansunetopologie faible quimode´liselalimitationmacroscopiquedenosexp´eriencesaussibienexp´eriences delaboratoirequexpe´riencessensibles. Tr`essouvent,a`notree´chelle,lamesureempiriqueapparaˆıtcontinue: bNt(dx dv)f(t x v)dx dv On notera souventf(t) =fte´.sntiaLedfest laeuqitecin´tionribudistdu gaz. Le´tudedecettedistributionconstituelathe´oriecine´tiquedesgaz;lefondateurde cette science est sans doute D. Bernoulli (vers 1738), et les plus fameux contributeurs ensontMaxwelletBoltzmann.Ontrouveraunebre`vehistoiredelath´eoriecine´tique dans[40,Chapitre1]etlesre´fe´rencesincluses. Continuonsl´etudedusyste`menewtonien.Onpeutimaginerquecertaines expe´riencespermettentdesmesures simultaneesspdeamartr`eedsesulprueiraps-´ ticules,donnantainsiacc`esa`descorre´lationsentreparticules.Cecinousme`nea ` d´enirparexemple bt2;N(dx1dv1dx2dv2) =N(N11)X=jδ(Xi1(t)X˙i2(t)Xi2(t)X˙i2(t))i6 ouplusg´en´eralement btk;N(dx1dv1 dx  kdvk) = (NkN!1)!Xδ(Xi1(t)X˙i1(t)X˙ ik(t)Xki(t))(i1ik)distincts
Vol.XIV,2010(Ir)re´versibilit´eetentropie5 Les approximations correspondantes sont lesfctonnsiodideirtsituba`nokparti-cules: bkt;N(dx1dv1 dx  kdvk)f(k)(t x1 v1     xk vk)´ Evidemment, en continuant jusqu’ak=N, on trouve une mesurebN;N(dx1 dv  N) ` concentre´esurlevecteurdespositionsetvitessesdesparticules(moyennesurtous ´ leschoixdepermutationsdesparticules).Maisenpratiqueonnevajamaisjusqu`a k=N:keoit)explrsqu,aloarti3aesa`nu´djet(tilealusrj`qutser`rteepseNest gigantesque.
1.4 Al´atoire microscopique e Malgre´led´eterminismedumod`elenewtonien,onade´j`afaitdeshypoth`eses denatureprobabilistesurlesdonne´esinitiales,ensupposantquellesnesontpas congur´eesdesorte`aaboutir`aunecatastropheraretellequunecollisiontriple. Onpeutmaintenantg´en´eralisercetteapprocheenconside´rantunedistributionde probabilite´surlensembledespositionsetvitessesinitiales: 0N(dx1dv1 dx  NdvN)que l’on appelleraabilprobmicrit´eeredemusuqipocsoe. Dans la suite on notera pourabre´ger dxNdvN:=dx1dv1   dxNdvNIl est naturel de choisir0Nymstr´eapprnaetavirernia-dist-`,ceiqueontitamuer N;N descoordonne´es.Ladonn´ee0Nremplace la mesureb0tealnodeenselill.Eeng´ra´e lieu a un flot de mesures, obtenu par l’action du flot : ` Nt= (Nt)#0Net des marginales tk;N=Zxkvk)tN(x1v1 Silesensdelamesureempiriqueesttransparent(cestlavraiedensite´de particules),celuidelamesuredeprobabilite´microscopiqueestmoinse´vident.Ima-ginonsquele´tatinitialae´te´pre´par´eparungrandconcoursdecirconstancesdont nous ne savons pas grand chose : on peut seulement faire des suppositions et des devinettes. Ainsi0Nsopslbisocse-nuresenlmbsedelerudepeorabibil´testunemes gurationsinitiales.Une´nonce´physiquefaisantintervenir0Nedeordae`ruuagcnn senssilutiliselaformepre´cisedecettedistribution(nousnepourronsleve´rier,car nous n’observons pas0Nceonenl´prroepune´te´i)m;uraunsiaisilena0N-presque sure, ou n su ˆ bie ˆre avec0Nitil0.´eou99vadagatn.eboba-rp Demeˆme,laformedet1;NnnouaislaMsiuq.enag`uredesenepsyhis phe´nom`enedeconcentration de la mesurentgagiauˆudsiemedN, alors on peut esperer que ´ 0NhdistbtN ft(x v)dx dvriα(N r)o`udistestunedistancebienchoisiesurlespacedesmesuresetα(N r)0 quand r→ ∞, d’autant plus vite queNest grand (par exempleα(N r) =ec N r). On
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