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Topologie et Calcul Di érentiel F Rouvière Septembre

3 pages
Topologie et Calcul Di?érentiel (F. Rouvière) Septembre 05 CORRIGÉ DE L?EXAMEN DE SEPTEMBRE 2005 1. Racine cubique d?une matrice. a. Soit X 2 E une matrice carrée quelconque. Comme I et X commutent on a par la formule du binôme f(I + X) = (I + X)3 = I + 3X + 3X2 + X3 . Au second membre ?gurent successivement I = f(I), le terme 3X linéaire par rapport à l?ac- croissement X de la variable, et le reste R(X) = 3X2+X3 qui est d?ordre supérieur à 1. D?après les propriétés des normes d?applications linéaires on a kR(X)k kXk2 k3 + Xk donc kR(X)k = kXk tend vers 0 quand X tend vers 0, autrement dit R(X) = o(kXk) et f(I + X) f(I) = 3X + o(kXk) . Ceci montre, par dé?nition de la di?érentielle, que l?application f est di?érentiable au point I et que sa di?érentielle est l?application linéaire X 7! 3X de E dans lui-même, i.e. Df(I)X = 3X. Variante. On peut aussi, si on préfère, écrire R(X) = kXk (X) avec (X) = 1 kXk(3X 2 + X3) si X 6= 0 , (0) = 0 .

  • c?est l?analogue matriciel de la formule classique

  • l?équation de départ z

  • propriétés des normes d?applications linéaires

  • solution de l?équation aux dérivées partielles

  • linéaire df


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Topologie et Calcul Di¤érentiel(F. Rouvière)
CORRIGÉ DE LEXAMEN DE SEPTEMBRE 2005
Septembre 05
1. Racine cubique dune matrice. a.SoitX2Eune matrice carrée quelconque. CommeIetXcommutent on a par la formule du binôme 3 23 f(I+X) = (I+X) =I+ 3X+ 3X+X. Au second membre gurent successivementI=f(I), le terme3Xlinéaire par rapport à lac-2 3 croissementXde la variable, et le resteR(X) = 3X+Xqui est dordre supérieur à1. Daprès les propriétés des normes dapplications linéaires on a 2 kR(X)k  kXk k3 +Xk donckR(X)k=kXktend vers0quandXtend vers0, autrement ditR(X) =o(kXk)et f(I+X)f(I) = 3X+o(kXk).
Ceci montre, par dénition de la di¤érentielle, que lapplicationfest di¤érentiable au pointIet que sa di¤érentielle est lapplication linéaireX7!3XdeEdans lui-même, i.e.Df(I)X= 3X. Variante.On peut aussi, si on préfère, écrireR(X) =kXk"(X)avec
1 2 3 "(X(3) =X+X)siX6= 0,"(0) = 0. kXk
On ak"(X)k  kXk k3 +Xkdonc"(X)tend vers0avecX.
11 b.Lapplicationfest de classeC(et mêmeC) sur lespaceEtout entier, puisque les éléments 3 matriciels deXsont des fonctions polynomiales (de degré3) de ceux deX. De plus lapplication 1 1 linéaireDf(I) :X7!3Xest évidemment inversible, dinverseDf(I) :X7!X. On peut 3 donc appliquer àfle théorème dinversion locale au voisinage deI. Par suite il existe un voisinage 1 ouvertVdeIdansEtel que lapplicationf, restreinte àV, soit unC-di¤éomorphisme deV sur louvertW=f(V)deE, voisinage def(I) =I. Notonsg:W!Vlapplication réciproque. On a donc 3 (X2VetY=X)()(Y2WetX=g(Y)); lapplicationgdonne une "racine cubique locale" pour les matrices carrées proches deI.
c.En particuliergest di¤érentiable enI, ce qui sécrit
g(I+X) =I+Dg(I)X+kXk"(X),
1 "(X)tend vers0avecX. OrDg(I) = (Df(I))(on retrouve cela en di¤érentiant enIla fonction composée(gf)(X) =X), doù
1 g(I+X) =I+X+kXk"(X). 3 p 3x Cest lanalogue matriciel de la formule classique1 +x+= 1+o(x)lorsquexest une variable 3 réelle.
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